第三章 场，相对论_物理学的进化

1.场的图示

在19世纪下半叶，革命性的新观念被引入了物理学，它们为一种不同于旧力学观的新哲学观开辟了道路。法拉 但我们可以设想差异已经被发现了：例如，由刚性量杆构成的大三角形的内角之和不再等于180度。由于我们已经习惯于用刚性物体来具体表示欧几里得几何学的对象，我们也许应当寻找某种物理的力来解释我们量杆的这种出乎预料的形变。我们应当力求发现这种力的物理性质及其对其他现象的影响。为了挽救欧几里得几何学，我们可以指责物体并非刚性，与欧几里得几何学中的形体并不完全符合。我们应当努力找到更好的物体，其表现与欧几里得几何学所期望的完全一致。然而，倘若我们未能把欧几里得几何学与物理学结合成一幅简单一致的图景，我们就不得不放弃我们的空间是欧几里得空间这一观念，并按照关于我们空间几何性质的更一般假设寻求一种更令人信服的实在图景。

我们可以用一个理想实验来说明这种必要性。这个实验表明，真正的相对论物理学不可能建立在欧几里得几何学的基础上。我们的论点将会蕴含着我们已经了解的关于惯性坐标系和狭义相对论的结果。

设想有一个大圆盘，上面画着两个同心圆，一个很小，另一个很大。圆盘飞快地旋转。圆盘是相对于外面的观察者转动的，圆盘上还有一个观察者。我们进一步假定，外面观察者的坐标系是惯性坐标系，他也可以在自己的惯性坐标系中画出同样一大一小的两个圆，这两个圆在他的坐标系中是静止的，但与旋转圆盘上的圆重合。他的坐标系是惯性的，因此欧几里得几何学在他的坐标系中是有效的，他将发现两圆的周长之比等于半径之比。但圆盘上的观察者发现了什么呢？从经典物理学和狭义相对论的观点来看，他的坐标系是禁用的。但要想为物理定律找到在任何坐标系中都有效的新形式，就必须同样严肃地对待圆盘上和圆盘外的观察者。现在我们从外面注视圆盘上的观察者，看他如何通过测量来查明旋转圆盘上的周长和半径。他和外面的观察者使用的是同样的小量杆。所谓“同样”，要么是指实实在在地相同，就是说它是由外面的观察者递给圆盘上的观察者的；要么是指在一个坐标系中静止时具有相同长度的两根量杆中的一根。

圆盘上的观察者开始在圆盘上测量小圆的半径和周长，他的测量结果必定与外面的观察者完全相同。圆盘的旋转轴通过圆盘的中心，圆盘中心附近的部分速度很小。如果圆足够小，我们就可以放心地使用经典物理学而不必考虑狭义相对论。这意味着，对于圆盘上和外面的观察者来说，量杆的长度是一样的，因此两人的测量结果也将相同。现在圆盘上的观察者又来测量大圆的半径。在外面的观察者看来，放在半径上的量杆在运动。但由于运动方向与量杆垂直，所以这根量杆并不收缩，在两位观察者看来长度相同。于是，对这两位观察者来说，三种测量结果都相同：两个半径和一个小圆周长。而第四种测量却不然！两位观察者测得的大圆周长并不相同。在外面的观察者看来，沿着运动方向放在圆周上的量杆与静止时相比显得收缩了。外圆的速度比内圆大得多，所以必须考虑这种收缩。因此，运用狭义相对论的结果，我们的结论是：两位观察者测出的大圆周长一定是不同的。由于两位观察者测量的四种长度中只有一种是不同的，所以圆盘上的观察者不会像外面的观察者那样认为两半径之比等于两周长之比。这意味着，圆盘上的观察者无法在他的坐标系中确证欧几里得几何学的有效性。

得到这个结果之后，圆盘上的观察者可以说，他不想考虑欧几里得几何学在其中无效的坐标系。欧几里得几何学之所以不成立是因为绝对转动，是因为他的坐标系是坏的和被禁用的。但在以这种方式论证时，他已经拒斥了广义相对论中的主要观念。另一方面，如果我们想拒斥绝对运动，保留广义相对论的观念，就必须把物理学建立在一种比欧几里得几何学更一般的几何学的基础上。只要所有坐标系都可以允许，就无法摆脱这个结局。

广义相对论所带来的变化不能仅限于空间。在狭义相对论中，静止在一个坐标系中的各个钟是同步的，亦即同时指示相同的时刻。那么，非惯性坐标系中的钟会怎样呢？我们还用那个关于圆盘的理想实验。外面的观察者在其惯性坐标系中有许多同步的完美的钟。圆盘上的观察者从中拿出两个，一个放在小的内圆上，另一个放在大的外圆上。内圆上的钟相对于外面的观察者速度很小。于是我们可以放心地断定，它的快慢与圆盘外面的钟相同。但大圆上的钟速度很大，与外面观察者的钟相比快慢变了，因此与放在小圆上的钟相比快慢也变了。于是，两个旋转的钟将会有不同的快慢。运用狭义相对论的结果，我们再次发现在我们的旋转坐标系中做不出类似于惯性坐标系中那样的安排。

为了说明从这个以及前面描述的理想实验中可以得出怎样的结论，我们再次引述相信经典物理学的旧物理学家（“古”）和懂得广义相对论的现代物理学家（“今”）之间的一段对话。旧物理学家是处于惯性坐标系中的外面的观察者，而现代物理学家则是处于旋转圆盘上的观察者。

古：在你的坐标系中，欧几里得几何学是无效的。我观察了你的测量，我承认在你的坐标系中，两个圆的周长之比并不等于半径之比。但这表明你的坐标系是被禁用的。可我的坐标系是惯性的，我可以放心地使用欧几里得几何学。你的圆盘在作绝对运动，从经典物理学的观点来看，它是一个被禁用的坐标系，在其中力学定律是无效的。

今：我不想听任何关于绝对运动的说法。我的坐标系和你的一样好。我看到你相对我的圆盘在旋转。没有人能禁止我把所有运动都与我的圆盘相关联。

古：但你不觉得有一种奇怪的力使你远离圆盘中央吗？假如你的圆盘不是一个快速转动的旋转木马，你所观察到的两种情况就不可能发生。你不会感到有一种力把你向外推，也不会注意到欧几里得几何学在你的坐标系中不能用。这些事实难道不足以让你相信你的坐标系在作绝对运动吗？

今：绝非如此！我当然注意到了你所提到的两个事实，但我认为它们之所以发生，是因为有一个奇特的引力场作用于我的圆盘。指向圆盘外面的这个引力场使我的刚性量杆发生形变，使我的钟改变快慢。在我看来，引力场、非欧几何和不同快慢的钟是密切相关的。采用任何坐标系，我必须同时假定存在着一个适当的引力场及其对刚性量杆和钟的影响。

古：但是，你知道你的广义相对论所引起的困难吗？我想用一个简单的非物理学的例子来澄清我的观点。想象一座理想的美国城市，它由一条条南北街和与之垂直的东西路所组成。街与街的距离、路与路的距离是相同的。如果这些假设得到满足，那么每一个街区都是同样大小。用这种方法很容易描述任一街区的位置。但如果没有欧几里得几何学，这样一种构图是不可能的。例如，我们不能用一个很大的理想美国城市把整个地球覆盖起来。这一点只要看看地球就知道了。但我们也不能用这样一幅“美国城市图”把你的圆盘覆盖起来。你说引力场已经使你的量杆发生了形变。你无法确证关于半径之比等于周长之比的欧几里得定理，这就清楚地表明，如果你把这样一种街道图带到足够远的地方，便迟早会陷入困难，而发现这在你的圆盘上是不可能的。你旋转圆盘上的几何学类似于曲面上的几何学，而在足够大的曲面上，这样的街道图当然是不可能的。再举一个更物理的例子。假定把一个平面的各个部分不规则地加热到不同温度。你能用长度随温度而膨胀的小铁杆作出下面这幅“平行－垂直”图吗？当然不能！你的“引力场”对你的量杆所起的作用和温度改变对小铁杆所起的作用是一样的。

今：所有这些都吓不倒我。需要用街道图来确定点的位置，用钟来确定事件的次序。但城市未必是美国的，它也可以是古代欧洲的。想象你的理想城市是由塑料做成的，然后发生了形变。虽然街道已经不再笔直和等距，但我仍然可以数出街区，认出街道。同样，我们在地球上用经纬度来标明点的位置，尽管不是“美国城市”的构图。

古：但我还是看到一个困难。你不得不用你的“欧洲城市图”。我承认你能确定点或事件的次序，但这种图会把一切距离测量弄乱。它无法像我的图那样给出空间的度规性质。举例来说，我知道在我的美国城市中，要想走十个街区，我必须经过五个街区距离的两倍。我知道所有街区都相等，所以我能立即确定距离。

今：你说的不错。在我的“欧洲城市”图中，我无法通过变形街区的数目立即确定距离。我必须知道更多的东西，必须知道我的表面的几何性质。众所周知，同样是从经度0度到10度的距离，在赤道上和在北极附近是不等的。但每一位航海家都知道如何在地球上确定这样两点之间的距离，因为他知道地球的几何性质。他要么根据球面三角学知识来计算，要么把他的船以相同的速度驶过这两段距离，用实验方法来计算。在你的例子中，整个问题很简单，因为所有街和路都是等距的。而在我们的地球上，情况要更为复杂，0度与10度的两条经线在地球两极相遇，在赤道上则相距最远。同样，为了在我的“欧洲城市图”中确定距离，我必须比你在“美国城市图”中多知道一些东西。为了得到这种额外的知识，我可以在每一种特殊情况下研究我的连续区的几何性质。

古：但所有这些都只不过表明，放弃欧几里得几何学的简单结构，启用你决心使用的复杂框架是如何的不便和复杂罢了。难道这真是必需的吗？

今：如果想把物理学应用到任何坐标系，而不是神秘的惯性坐标系，我想这是不可避免的。我承认我的数学工具比你的更复杂，但我的物理假设却更加简单自然。

这个讨论只限于二维连续区。广义相对论中的争论要更为复杂，因为那里不是二维连续区而是四维时－空连续区，但想法与二维情形一样。在广义相对论中，我们不能像在狭义相对论中那样使用由平行和垂直的量杆以及同步的钟所组成的力学框架。在一个任意的坐标系中，我们无法用刚性量杆和同步的钟来确定一个事件发生的地点和时刻，就像在狭义相对论的惯性坐标系中那样。我们仍然可以用非欧几里得的量杆和快慢不同的钟来确定事件。但需要用刚性量杆和完全同步的钟来做的实际测量只能在局域的惯性坐标系中进行。在这种坐标系中，整个狭义相对论都是有效的。但我们的“好”坐标系只是局域的，其惯性受空间和时间的限制。甚至在我们的任意坐标系中，我们也能预见到局域惯性坐标系中的测量结果。但为此我们必须知道我们时－空连续区的几何学特征。

我们的理想实验仅仅指出了新的相对论物理学的一般特征。这些实验表明，我们的基本问题是引力问题。它们还表明，广义相对论进一步推广了时间和空间概念。

13.广义相对论及其验证

广义相对论试图为所有坐标系提出物理定律。该理论的基本问题是引力问题。自牛顿时代以来，它第一次尝试重新表述引力定律。这真是必需的吗？我们已经了解过牛顿理论的伟大成就以及建立在牛顿引力定律基础上的伟大天文学进展。直至今日，牛顿定律仍然是所有天文学计算的基础。但我们也听说过对于旧理论的一些反驳。牛顿定律只在经典物理学的惯性坐标系中有效，我们还记得，所谓惯性坐标系是指力学定律在其中有效的坐标系。两个质量之间的力与两者之间的距离有关。我们知道，力与距离的关系对于经典变换是不变的。但这个定律并不符合狭义相对论的框架。该距离对于洛伦兹变换并非不变。就像对运动定律一样，我们可以设法把引力定律加以推广，使之符合狭义相对论，或者换句话说，使引力定律的表述对于洛伦兹变换不变，而不是对于经典变换不变。但无论我们如何努力，也无法把牛顿的引力定律简化，把它纳入狭义相对论的框架。即使在这方面取得成功，我们也仍然需要更进一步，从狭义相对论的惯性坐标系迈向广义相对论的任意坐标系。另一方面，关于下落升降机的理想实验清楚地表明，除非解决了引力问题，否则不可能提出广义相对论。由此我们可以看到，为什么引力问题的解决在经典物理学和广义相对论中是不同的。

我们曾试图说明通往广义相对论的道路以及迫使我们再次改变旧观点的理由。我们不去深入广义相对论的形式结构，而只是刻画新的引力理论与旧理论相比有什么特征。根据以上所述，掌握这些差别的实质应当并不困难。

（1）广义相对论的引力方程可以应用于任何坐标系。在某一情形中选择某个特定的坐标系仅仅是出于方便。从理论上讲，所有坐标系都是允许的。如果不考虑引力，我们会自动回到狭义相对论的惯性坐标系。

（2）牛顿的引力定律把此时此地的一个物体的运动与同一时刻远处某一物体的作用联系在一起。此定律已经成为我们整个力学观的一个典范。但力学观崩溃了。在麦克斯韦方程中，我们看到了自然定律的一个新的典范。麦克斯韦方程是结构定律。它们把此时此地发生的事件与稍后附近发生的事件联系起来，是描述电磁场变化的定律。我们新的引力方程也是描述引力场变化的结构定律。扼要地讲，我们可以说：从牛顿的引力定律过渡到广义相对论，有些类似于从库仑定律的电流体理论过渡到麦克斯韦理论。

（3）我们的世界并不是欧几里得式的。我们世界的几何本性由质量及其速度来决定。广义相对论的引力方程试图揭示我们世界的几何本性。

暂且假定我们已经成功实现了广义相对论的纲领。但我们的猜想是否有过分脱离实在的危险呢？我们知道，旧理论很好地解释了天文学观测。是否有可能在新理论与观测之间建起一座桥梁呢？任何猜想都必须接受实验的检验，任何结果，无论多么吸引人，倘若不符合事实，都必须拒斥。新的引力理论能否经受实验检验呢？对于这个问题，我们可以用一句话来回答：旧理论是新理论的一种特殊的极限情形。如果引力较弱，旧牛顿定律就会是新引力定律的很好近似。因此，所有支持经典理论的观测也支持广义相对论。我们从新理论的更高层次上重新获得了旧理论。

即使我们无法引用额外的观测来支持新理论，即使它的解释与旧理论不相上下，倘若在两种理论中自由选择，我们也应当支持新的。从形式上看，新理论的方程要更为复杂，但从基本原理上看，它却简单得多。绝对时间与惯性系这两个可怕的幽灵已经消失了。引力质量与惯性质量的等效这一线索也没有被忽视。关于引力及其与距离的关系，我们无须作任何假设。引力方程有着结构定律的形式，这是自场论取得伟大成就以来所有物理定律都必须具有的形式。

由新的引力定律可以引出不包含在牛顿引力定律中的一些新推论。我们曾经引述过一个推论，即光线在引力场中的弯曲。现在我们要提到另外两个推论。

如果引力较弱时旧定律可以从新定律中推出来，那么只有在引力较强时才能发现与牛顿引力定律的偏差。以我们的太阳系为例，包括地球在内的所有行星都沿着椭圆轨道围绕太阳运转。水星是距离太阳最近的行星。太阳与水星之间的引力要强于太阳与任何其他行星之间的引力，因为水星与太阳的距离较小。倘若有任何希望能够发现与牛顿定律的偏差，最大的机会就是水星。由经典理论可知，水星的运行轨道与任何其他行星是相同类型，只不过它离太阳更近。根据广义相对论，它的运动应该略有不同。水星不仅要围绕太阳运转，它的椭圆轨道也应相对于与太阳相连的坐标系缓慢转动。椭圆轨道的这种转动体现了广义相对论的新效应。新理论还预言了这个效应的大小，水星的椭圆轨道将在300万年后完成整个转动。由此可见，这种效应非常之小，距离太阳更远的行星更没有希望发现这个效应。

在提出广义相对论之前，人们已经知道水星轨道与椭圆的偏差，但无法作出解释。另一方面，广义相对论是在完全没有注意到这个特殊问题的情况下而发展起来的。只是后来才从新的引力方程中推出了行星围绕太阳运转的椭圆轨道本身也在转动的结论。就水星而言，理论成功地解释了水星的运动与牛顿定律预言的运动之间的偏离。

但从广义相对论中还可以推出一个结论可与实验进行比较。我们已经看到，放在旋转圆盘大圆上的钟与放在小圆上的钟快慢不同。同样，由相对论可以推出，放在太阳上的钟与放在地球上的钟快慢不同，因为引力场在太阳上比在地球上要强得多。

前面说过，炽热的钠会发出一定波长的单色黄光。在这种辐射中，原子显示了它的一种快慢；可以说，原子代表钟，发射的波长则代表钟的快慢。根据广义相对论，太阳上钠原子发出光的波长应当略长于地球上钠原子发出光的波长。

通过观测来检验广义相对论的推论是一个非常复杂的问题，而且绝没有得到明确无疑的解决。由于我们只关注主要观念，所以不打算作深入讨论，但可以说，迄今为止的实验判决似乎确证了广义相对论的结论。

14.场与物质

我们已经看到了力学观崩溃的过程和原因。不可能通过假定不变的粒子之间有简单的作用力来解释一切现象。事实证明，我们超越力学观、引入场的概念的最初尝试在电磁现象领域最为成功。电磁场的结构定律得以确立，它们把空间和时间中彼此非常接近的事件联系起来。这些定律符合狭义相对论的框架，因为它们对于洛伦兹变换是不变的。后来，广义相对论提出了引力定律，它们同样是描述物质粒子之间引力场的结构定律。就像广义相对论的引力定律那样，我们同样很容易对麦克斯韦的定律进行推广，使之适用于任何坐标系。

我们有两种实在：物质和场。毫无疑问，我们现在不能像19世纪初的物理学家那样想象把整个物理学都建立在物质概念的基础上。我们现在把物质和场这两个概念都接受下来。我们能把物质和场看成两种不同的实在吗？给定一个物质粒子，我们对它可以作这样一种朴素的刻画：该粒子有一个明确的表面，在那里物质不再存在，其引力场也在那里出现。在我们的图景中，场定律有效的区域和物质存在的区域是突然分开的。但区分物质与场的物理标准是什么呢？在了解相对论之前，我们可能会这样来尝试回答这个问题：物质有质量而场没有质量。场代表能量，物质代表质量。但获得更多知识以后，我们已经知道这样的回答是不够的。从相对论中我们得知，物质储藏着大量能量，而能量又代表物质。我们不能以这种方式对物质与场进行定性的区分，因为质量与能量之间的区分并不是定性的。物质之中集中着最大部分的能量，但微粒周围的场也代表能量，尽管量要小得多。因此我们可以说：物质是能量最为集中的地方，场则是能量较少集中的地方。但如果是这样，那么物质与场之间的区别就是定量的而不是定性的。把物质和场看成两种性质完全不同的东西是没有道理的。我们无法想象有一个明确的表面把场与物质截然分开。

电荷和它的场也有同样的困难。我们似乎给不出明显的定性标准来区分物质和场或者电荷和场。

在能量非常集中的地方，或者说在电荷或物质等场源存在的地方，我们的结构定律，即麦克斯韦定律和引力定律就失效了。但我们难道不能对这些方程略作修改，使之到处有效，甚至在能量非常集中的地方也能有效吗？

我们不能仅仅基于物质概念来建立物理学。但在认识到质量与能量等效之后，物质与场的划分就显得有些人为和模糊了。我们能否拒斥物质概念，建立起一种纯粹的场物理学呢？我们感觉到的物质其实只是能量大大集中在一个较小的空间中而已。我们可以把物质看成空间中场特别强的一些区域，由此来创建一种新的哲学背景。其最终目标就是用随时随地都有效的结构定律来解释自然之中的一切事件。从这种观点来看，抛出的石头就是一个变化着的场，在这个场中，场强最大的状态以石头的速度穿过空间。在我们这种新物理学中，场与物质不能都是实在，场是唯一的实在。场物理学取得了伟大的成就，把电、磁和引力的定律成功地表达为结构定律的形式，还有质量与能量的等效，所有这些都暗示了这种新的观点。我们最后的问题便是改变我们的场定律，使之在能量非常集中的地方也不失效。

但迄今为止，我们仍然没有令人信服和前后一致地成功实现这个纲领。究竟能否实现，现在还不好说。目前我们在所有实际的理论构建中仍然要假定两种实在：场与物质。

基本问题仍然摆在我们眼前。我们知道，所有物质都是由少数几种粒子构成的。各式各样的物质是如何由这些基本粒子构成的呢？这些基本粒子与场是如何相互作用的呢？为了寻求这些问题的答案，物理学中又引入了新的观念，即量子理论的观念。

总结：

物理学中出现了一个新的概念——场，这是自牛顿时代以来最重要的发明。对于描述物理现象必不可少的不是电荷，也不是粒子，而是电荷之间与粒子之间的场，这需要很大的科学想象力才能认识到。事实证明，场的概念非常成功，由这个概念引出了描述电磁场结构以及支配电现象和光现象的麦克斯韦方程。

相对论源于场的问题。旧理论的矛盾和不一致迫使我们把新的性质归于时-空连续区，归于我们物理世界中所有事件的舞台。

相对论的发展有两步。第一步产生了所谓的狭义相对论，它只适用于惯性坐标系，即牛顿表述的惯性定律在其中有效的系统。狭义相对论基于两条基本假设：在所有相对作匀速直线运动的坐标系中物理定律都相同；光速总有相同的值。由这些已被实验充分确证的假设可以推出，运动量杆的长度以及钟的快慢随速度而改变。相对论改变了力学定律。如果运动粒子的速度接近光速，旧的定律就失效了。实验出色地确证了相对论为运动物体重新提出的定律。（狭义）相对论的另一个推论便是质能关系。质量是能量，能量有质量。相对论把质量守恒定律与能量守恒定律结合成一个质-能守恒定律。

广义相对论对时-空连续区作了更深入的分析，其有效性不再局限于惯性坐标系。它处理了引力问题，为引力场提出了新的结构定律。广义相对论迫使我们分析几何学对于描述物理世界的作用。它把引力质量与惯性质量的相等看得至关重要，而不像经典力学那样把它看成纯粹偶然。广义相对论的实验结果与经典力学的结果只有略微不同。只要是有可能进行比较的地方，它都经受住了实验的检验。然而，广义相对论的长处在于它内在的一致性和基本假设的简单性。

相对论强调了场的概念在物理学中的重要性，但我们尚不能成功地提出一种纯粹的场物理学。目前我们仍然要假定场和物质都存在。