第五章 空间和时间的相对性_从一到无穷大

一、空间和时间的相互转变

虽然显示空间和时间在四维世界中的统一性的数学努力并没有完全消除距离与时间延续之间的差别，但的确揭示出这两个概念之间具有高度的相似性，其程度要比在爱因斯坦之前的物理学中大得多。事实上，各个事件之间的空间距离和时间间隔，现在只能认为是这些事件之间基本的四维距离在空间轴和时间轴上的投影，从而四维坐标系的旋转可以使距离在部分程度上转变为时间的延续，或者使时间的延续在部分程度上转变为距离。不过，四维时空坐标系的旋转是什么意思呢？

我们先来考虑图34a中由两个空间坐标所组成的坐标系，并且假定有两个固定点相距为L。将这一距离投影在坐标轴上，我们发现这两个点沿 假定我们真的在7月28日那个多事之晨坐上了一辆沿 再举一个例子。设想一个人在一列行进的火车餐车上吃饭。在餐车的服务员看来，他在同一个地方（ 图37

空间收缩效应虽然对于理解物理学的基本原理非常重要，但在日常生活中却几乎未受注意，这是因为与光速相比，我们在日常经验中遇到的最高速度仍然微不足道。例如，一辆以每小时50英里的速度行驶的汽车，其长度只减小到原来的

倍，这相当于汽车从头到尾只减少了一个原子核的直径那么长！一架时速超过600英里的喷气式飞机，其长度只减少了一个原子直径那么长。就连时速超过25000英里的100米长的星际火箭，其长度也只是减少了百分之一毫米。

不过，如果设想物体以光速的50％、90%和99%运动，其长度将分别缩短为静止长度的86%、45%和14%。

所有高速运动物体的这种相对论收缩效应可见于一位不知名作者所写的一首打油诗：

菲斯克小伙剑术精，

出剑迅速如流星，

由于菲茨杰拉德收缩性，

长剑变成小铁钉。

当然，这位菲斯克先生出剑必须快如闪电才行！

根据四维几何学的观点，很容易把所有运动物体的这种普遍收缩解释为时空坐标系的旋转使物体不变的四维长度的空间投影发生了改变。事实上，根据上一节讨论的内容，你一定还记得，从运动系统所作的观察必须通过空间轴和时间轴都旋转某个角度（角度的大小取决于速度）的坐标来描述。因此，如果在静止系统中，四维距离百分之百地投影在空间轴上（图38a），那么在新的坐标轴中，它的空间投影总会更短（图38b）。

图38

请务必记住，所预期的长度缩短只和两个系统的相对运动有关。如果所考虑的物体相对于 迄今为止，我们一直在讨论空间在大质量附近的局域弯曲，这就好像宇宙这张巨大的脸上散布着各种“空间粉刺”。但撇开这些局域偏差不谈，宇宙的脸是平坦的还是弯曲的？如果是弯曲的，又是以何种方式弯曲的呢？图42对长有“粉刺”的平坦空间和两种可能的弯曲空间做出了二维描绘。所谓的“正曲率”空间对应于球面或其他任何封闭的几何形体的表面，无论朝着什么方向，它都以“同样的方式”弯曲。与之相反的“负曲率”空间则在一个方向上向上弯，在另一个方向上向下弯，很像一个马鞍面。这两种弯曲的区别很容易弄清楚：你可以从足球和马鞍上分别割下一块皮子，试着把它们在桌面上摊平。你会注意到，如果既不伸展又不收缩，那么两者都摊不成平面。足球皮的边缘必须伸展，马鞍皮的边缘必须收缩；足球皮的中心周围没有足够的材料将它摊平，而马鞍皮的材料又多了些，要想弄得平坦光滑总会折叠起来。

图42

对于这一点还能作另一种表述。假如我们（沿着表面）从某一点开始数距离它1英寸、2英寸、3英寸等范围内“粉刺”的个数，我们会发现：在平坦的表面上，“粉刺”个数是像距离的平方即1，4，9…那样增长的；在球面上，“粉刺”数目的增长会比平面上慢一些；而在“马鞍”面上则比平面上快一些。于是，生活在表面上的二维影子科学家虽然无法从外面打量该表面的形状，但仍然能通过计算落在不同半径的圆内的粉刺数来觉察它的弯曲状况。这里我们还会注意到，正曲率与负曲率之间的差别显示于对相应三角形角度的测量。正如我们在上一节看到的，画在球面上的三角形的内角和总是大于180°。如果你在马鞍面上画一个三角形，会发现它的内角和总是小于180°。

上述由曲面得到的结果可以推广到弯曲的三维空间，并得到下表：

空间类型

远距离状况

三角形内角和

体积增长情况

正曲率（类似球面）

自行封闭

＞180°

慢于半径立方

平　直（类似平面）

无穷伸展

= 180°

等于半径立方

负曲率（类似马鞍面）

无穷伸展

＜180°

快于半径立方

这张表可以用来回答我们生活的这个空间究竟是有限的还是无限的。我们将在讨论宇宙大小的第十章来探讨这个问题。