第一章 大数_从一到无穷大

一、你能数到多少？

有这么一个故事，说的是两个匈牙利贵族决定做一个游戏——谁说出的数最大谁赢。

“好，”其中一个人说，“你先说吧。”

另一个人绞尽脑汁想了几分钟，终于说出了他所能想到的最大的数：“3”。

现在轮到 图1　一个长得很像恺撒的古罗马人试图用罗马数字写下“一百万”，而墙上的那块板上恐怕连“十万”也写不下

对古人来说，那些很大的数，比如天上的星星、海里的鱼、岸边的沙粒等等，都是“无法计数”，就像“5”这个数对霍屯督人来说也是“无法计数”，从而变成了“许多”一样！

公元前3世纪的著名科学家阿基米德（Archimedes）曾经天才地表明，巨大的数是有可能书写出来的。他在《数沙者》（The Psammites）一书中说</a>道：

有人认为，沙粒的数目是无穷大的；我所说的沙粒不仅是指存在于叙拉古周边以及整个西西里岛的沙粒，而且是指在地球所有区域所能找到的所有沙粒，无论那里是否有人居住。也有人认为，这个数目并非无穷大，但比地球沙粒数目更大的数是表示不出来的。如果想象地球是一个大沙堆，并把地球的所有海洋和洞穴都填满沙粒，一直填到与最高的山齐平，那么持有这种观点的人显然会更加确信，这样堆积起来的沙粒数目是无法表示的。但我要试图表明，使用我所命名的各种数，不仅能表示出按照上述方式填满整个地球的沙粒的数目，甚至能表示出填满整个宇宙的沙粒的数目。

阿基米德在这部名著中提出的书写大数的方法与现代科学中的方法很相似。他从古希腊算术中最大的数“万”开始，然后引入“亿”这个新的数作为“ 要想得到巨大的数，并不一定要做出把整个宇宙塞满沙子这样的极端事情。事实上，在许多看似非常简单的问题中，它们也常常会跳将出来，而你事先肯定想不到其中会出现大于几千的数。

有一个人曾经在大数上吃了亏，那就是印度的舍罕王（King Shirham）。根据一则古老的传说，舍罕王打算赏赐他的首席大臣施宾达（Sissa Ben Dahir），因为施宾达发明了国际象棋，并且将它介绍给了舍罕王。这位聪明的大臣想要的似乎并不多，他跪在国王面前说：“陛下，请赐予我一粒麦子放入这张棋盘的 文献中曾经提及的最大的数也许与著名的“印刷行数问题”有关。假定我们建造了一台印刷机，它可以连续印出一行行文字，并且自动为每一行选择字母和其他印刷符号的组合。这样一台机器将包括若干分离的轮盘，轮盘的整个边缘都刻有字母和符号。盘与盘之间就像汽车的里程指示器中的数码盘那样装配在一起，使得每一个轮盘转动一周就会带动下一个轮盘前移一个位置。每一次移动之后，纸卷都会自动压到滚筒上。这样一台自动印刷机建造起来并不很困难，图4便是这种机器的示意图。

图4　一台自动印刷机刚刚准确印出一行莎士比亚诗句

让我们开动这台机器，检查一下印刷出来的那些没完没了的东西吧。这些东西大都没有什么意义，比如：

“aaaaaaaaaaaa…”

或者

“boobooboobooboo…”

或者

“zawkpopkossscilm…”

不过，既然这台机器能够印出字母与符号的所有可能组合，我们就能从这堆毫无意义的句子中找出点有意义的。当然，这其中又有许多无效的句子，比如：

“horse has six legs and…”（马有六条腿，并且……）

或者

“I like apples cooked in terpentin…”（我喜欢吃松节油煎苹果……）。

但只要坚持不懈地找下去，就一定会发现莎士比亚所写下的每一句话，甚至是那些被他扔进废纸篓的句子！

事实上，这台自动机会印出人类从学会写字以来所写出的一切：每一句散文和诗歌，报纸上的每一篇社评和广告，每一本厚重的科学论著，每一封情书，每一张订奶单……

不仅如此，这台机器还将印出未来所要印刷的所有东西。在从滚筒出来的纸上，我们可以找到30世纪的诗歌，未来的科学发现，在 线上的每一点都可用该点到这条线某一端的距离来表示，此距离可以写成无限小数的形式，比如0.735 062 478 005 6…或 0.382 503 756 32…9现在我们要比较一下所有整数的数目和所有可能的无限小数的数目。那么，上面写出的无限小数与或这样的分数有何不同呢？

大家一定还记得，我们在算术课上学过：每一个普通分数都可以转化为一个无限循环小数。例如=0.6666…=0.66，=0.4285714285714285714…=0.(428571)。我们前面已经证明，所有普通分数的数目等于所有整数的数目，因此所有循环小数的数目也必定等于所有整数的数目。但一条线上的点不一定能由循环小数表示出来，绝大多数点是由不循环小数表示的。因此很容易证明，在这种情况下不可能建立一一对应关系。

假定有人声称已经建立了这样一种一一对应，且具有以下形式：

N

1　0.38602563078 …

2　0.57350762050 …

3　0.99356753207 …

4　0.25763200456 …

5　0.00005320562 …

6　0.99035638567 …

7　0.55522730567 …

8　0.05277365642 …

?　…………………

?　…………………

当然，由于不可能把无穷多个整数和无穷多个小数实际写出来，所以上述说法只是意味着这张表的作者有了某种一般规则（类似于我们用来排列普通分数的规则），并且根据这种规则制作了这张表，此规则保证每一个小数迟早会出现在这张表上。

但我们很容易证明，任何此类说</a>法都是站不住脚的，因为我们总能写出一个无限小数没有包含在这张无穷表之中。怎么写呢？非常简单。只要让该小数的第一小数位区别于表中N1的第一小数位，第二小数位区别于表中N2的第二小数位，等等。你所得到的数可能是下面这个样子：

无论你怎样找，都不可能在上表中找到这个数。事实上，如果该表的作者告诉你，你所写出的这个数位于他那张表上的N137（或其他任何序号），你可以立即回答说：“不可能，我这个数并不是你那个数，因为我这个数的第137小数位不同于你那个数的第137小数位。”

因此，线上的点与整数之间不可能建立起一一对应关系。这意味着，线上的点的无穷大大于或强于所有整数或分数的无穷大。

我们一直在讨论“1英寸长”的线上的点。但现在很容易证明，按照我们“无穷大算术”的规则，无论多长的线都是如此。事实上，无论是1英寸长的线，1英尺长的线，还是1英里长的线，上面的点数都相同。要想证明这一点，只要看看图6，AB和AC是两条不同长度的线，现在要比较其上的点数。为了在这两条线的点之间建立一一对应关系，过AB上的每一点作BC的平行线与AC相交，这样便形成了D与D′，E与E′，F与F′等交点。对于AB上的任意一点，都有AC上的一个点与之对应，反之亦然。于是按照我们的规则，这两个无穷大是相等的。

通过这种对无穷大的分析还能得出一个更加惊人的结论：一个平面上所有点的数目与一条线上所有点的数目相等。为了证明这一点，让我们考虑一条长1英寸的线AB上的点和边长1英寸的正方形CDEF上的点（图7）。

图6

图7

假定这条线上某一点的位置由某个数给出，比如0.75120386…。我们可以把这个数的奇数位和偶数位挑出来再组合到一起，形成两个不同的小数：

0.7108…

和

0.5236…

在正方形中沿水平和竖直方向量出由这两个数所指定的距离，把这样得到的点称为原来线上那个点的“对偶点”。反过来，对于正方形中的任意一点，比如由0.4835…和0.9907…这两个数来描述的点，我们把这两个数合到一起，便得到了线上相应的“对偶点”：0.49893057…。

显然，通过这种程序可以在两组点之间建立一一对应关系。线上的每一点在正方形中都有其对应点，正方形中的每一点在线上也有其对应点，没有被遗漏的点。于是，按照康托尔的标准，一个正方形中所有点的无穷大与一条线上所有点的无穷大相等。

通过类似的办法也很容易证明，立方体中所有点的无穷大与正方形或线上所有点的无穷大相等。为此，我们只需把最初那个无限小数分成三部分，10并用由此获得的三个新的小数来定义立方体中“对偶点”的位置。和不同长度的两条线的情况一样，正方形或立方体中的点数与该正方形或立方体的尺寸无关。

虽然所有几何点的数目要大于所有整数和分数的数目，但这还不是数学家们知道的最大的数。事实上，人们发现，所有可能的曲线，包括形状最不寻常的那些，其成员数目要比所有几何点的数目更大，因此应把它看成无穷大序列中的第三个数。

根据“无穷大算术”的创始人康托尔的说法，无穷大数由希伯来字母（读作阿列夫）表示，其右下角再用一个小数字来表示此无穷大的级别。这样一来，数（包括无穷大数）的序列就成了：

1，2，3，4，5，…1，2，3…

正如我们说“世界有7大洲”，“一副扑克有54张牌”，我们也可以说“一条线上有1个点”，“存在着2种不同的曲线”。

图8　前三个无穷大数

在结束关于无穷大数的讨论时，我们要指出，这些数很快就把人们所能想象的无穷大数包含了进去。我们知道，0表示所有整数的数目，1表示所有几何点的数目，2表示所有曲线的数目，但是到目前为止，还没有人想得出能用3来表示的无限集合。似乎前三个无穷大数就足以数出我们所能想到的任何东西了。我们现在的处境正好与我们那位霍屯督老朋友完全相反：他有许多个儿子，却数不过3；我们什么都能数，却没有那么多东西让我们来数！