第九章 韦伯定律_心理物理学纲要

我在 该定律有多种不同的表述方式，但它们的基本内涵是一致的。依照情况的不同，其中总会有一种表述方式可能更具参考价值和实用性。

可以从集中感受和广延感受两方面来验证韦伯定律。关于前者，可以从强度和音高（代表声音品质中量的方面）的角度来验证，但不能理所当然地认为在某个特定领域内验证了定律，就能推广到另一个领域内。而是必须在每个领域内各自采取特定的研究方法来验证。

为了确认从广延感受的角度能够验证韦伯定律，首先要根据定律中的公式，将眼可视、手可触的刺激和刺激差异，替换为感觉大小和差异的程度。如果能够发现一些现象，例如，两根线段的长度刚刚能被发现不同，或者更笼统地说感觉上去几乎一样长时，如果将它们的长度各增长一倍，那么根据韦伯定律，差异的感受应当是不变的。

在研究声音的音高时，振动的频率代表了刺激的大小。

如果韦伯定律是正确的，那么其推论也应该是正确的。因此，通过实验验证定律的推论，也可视为对定律证明的一部分。我不会抽象地讨论这个问题，而是会通过不同领域内的具体案例来进行验证，并且重点会使用来自视觉感受方面的例子。

我已经提到过，就历史而言，虽然韦伯并不是将这个定律公式化并验证的sur gradation de lumiére par Lacaille, 1760, p.51］，他所使用的方法和福尔克曼类似[6]，具体的标题为《对某种光的强度研究，该强度能够使弱于它的光消失》。

我必须要说明，博格只引用了一个实验，实验中只提到了一种光源间距的例子，在这个距离条件下，投影间的差异达到1/64（与福尔克曼的1/100不同）时就不会被人所觉察。他进一步说明，这种感受性的程度也许会根据观察者的眼睛不同而不同；另外他认为对自己而言，这种感受性与光线的强度无关。

马森的一篇口头交流报告中则引用了[7]阿拉戈使用彩色光重复博格实验的情况。阿拉戈在其著名的天文学论著[8]中，对博格的实验方法进行了分析后写道，“无论M和L（博格实验中的两个光源）的绝对亮度是多少，实验结果都是相同的（相同的相对最小可觉差）”，反映了他对韦伯定律的正确性持积极态度。

阿拉戈在《光度的记忆》（Memoires sur photométrie, p.256）中没有重新提到这条定律，但他似乎已将其视为理所当然，他引用了证明运动影响差异可见性的实验，下面将介绍这实验。

马森[9]在执行一项电光度学的扩展实验中，得出了支持韦伯定律的结论。他的实验过程简明扼要，并且他的实验相比于博格或阿拉戈，更能精确、全面地证明韦伯定律。实验的基本过程如下：在直径大约为6cm的圆盘上将一块扇区涂黑，该区域标记为mn，其面积是圆盘总面积的1/60，如图1所示，然后使圆盘高速旋转起来。由于视觉后像现象，黑色的区域在白色的圆盘上会延展成为一个圆环或整圆，根据众所周知的快速运动物体与亮度的关系定律可推断，这个形成的环比周围的白色圆盘背景要暗1/60。由此可知，如果眼睛仍可以从圆盘背景中分辨出该环，那么也就能分辨出差异比率不低于1/60的差异。马森制作了一系列这样的圆盘，圆盘上的黑色扇区占圆盘的比例大小分别有1/50、1/60、1/70等等，一直到最小的比例1/120。依靠这些操作，马森就能够检验出视觉感受性的阈限是多少。接下来将介绍一种也能得出上述结论的方法，同时它相比于上述方法更有趣，因为它显示了在定律适用范围中，瞬时光线和稳定光线的效果是一样的。

图1　马森实验中所使用的圆盘

我们知道，如果在日光或人造光照射下，将一个圆盘表面分为黑白相间的扇区并快速旋转起来，就会呈现一种均匀的灰色。如果使用瞬时的电子火花代替，那么能够看到的是分开的黑白扇区。如果同时使用这两类光源，那么最后看到的是均匀的灰色还是分隔的黑白扇区，取决于这两种光源的强度比例。如果瞬时的电火花亮度很低，那么将看到均匀的灰色；如果电火花的亮度足够大，那么将看到分割的黑白扇区。根据马森的说明，虽然对于每个人的两只眼睛而言，看到灰色时的两种光源强度的比例是保持相同的，但是对于不同的人来说，这个比例却是因人而异的。如果与由电火花对白色扇区（因为黑色不能够明显地反射光线）进行照射产生的亮度，小于无电火花照射下圆盘呈现出均匀灰色所产生的亮度，那么这些扇区都将消失，人眼看到的将是均匀的灰色。在日光或人造光的亮度固定的前提下，圆盘上的白色和黑色扇区的宽度之比影响着最终的灰色的深度，这个比值将决定能够看到分隔的黑白扇区时所需的电火花亮度。如果黑白扇区的宽度相同，若在上一个实验中有人能够识别1/100的差异，就需要电火花的亮度达到稳定光源亮度的1/200，才能使该人眼看到黑白分隔的扇区，因为旋转圆盘使其变为灰色时，亮度也下降为原先的一半。马森为了区别于我们用以验证韦伯定律所进行的实验，他自己设计了一些实验并进行了大量的改造，但最终我们还是发现这些研究结果与之前的其他研究结果是相一致的。

下面引用的是马森对自己研究结果的详细叙述[10]，按顺序先是 然而，相比于上面说的那种模棱两可的方法，还有一种方法可以在差异大于最小可觉水平的情况下，更准确地验证韦伯定律。这个方法同时也是关于韦伯定律的最早的研究方法，更值得一提的是，它也是我最早提到的证明韦伯定律有效性的突出观察证据之一，那就是星等估计法。不过首先，我们需要假定在进行验证定理所需的星等估计时，天文学家那训练有素的眼睛能够克服人所固有的困难。

众所周知，估计星等是自古就有（从希帕克斯时期）的工作，它需要人根据自己的眼睛对星亮度的感受进行分类，而不是根据其亮度的光度测量值，这样天文学家就能根据各颗星外显的亮度差异，将它们分为一等、二等、三等，等等。因此，如果星等的值越小，表明星可见的亮度越高。根据韦伯定律，只有当相邻星等光度学上的关系是一定时，人们知觉到相邻星等的亮度差异才是相同的；因此，以等差数列形式存在的星等系列，必须对应的是以等比形式存在的亮度系列，以采用星的亮度来描述其光度值。

为了确保正确性，我们必须考虑与上述的推论矛盾的说法，例如洪堡（v.Humboldt）在《宇宙》（Kosmos）中提到了赫舍尔（J.Herschel）的观察，他提出连续的星等对应的实际亮度是一个二次幂函数列而不是等比数列，即

1, 1/4, 1/9, 1/16…

在等比数列中，每一个数都可以立即由前一个数乘以一个常数得到，然后我们会发现，这个数列和上面的数列很像，即

1/2, 1/4, 1/8, 1/16…

乍一看去这一矛盾非常重要，因为赫舍尔根据自己的测光判断，倾向于选择二次幂函数列而不是等比数列，并且对星等进行了仔细的校正以及与实际亮度间的比较，构建了当人们需要在任意确定性程度水平上进行判断时，所依赖的最广泛且最重要的基础。但是我相信在我的论文里已经很清楚地证明，这种矛盾只是表面的问题，在对定律进行完整的验证过程中，只要仔细地对这两个数列进行检验，问题本身就会迎刃而解。下面我将陈述其中的要点。

1, 1/4, 1/9, 1/16…和1/2, 1/4, 1/8, 1/16…两个数列之间的最大差异就在于 尽管如此，根据 至于韦伯定律适用范围的下限，我们经过严密的检查，意识到也许它并不是一个真实存在的限制。至今为止我们发现定律的偏离情况，严格说来都是符合定律的结果。为了证实这一点，我们需要进行一些初步的讨论，而这些讨论对后面的其他一些内容具有很高的重要性。

在非正常的条件下，无需外部的刺激而只需内在因素（内部的刺激）就能产生各种类型的感觉，这种感觉通常被称为幻觉，它提供了这种可能性存在的证据。实质上，在特定的环境中，以稳定和普遍的方式出现这种感觉，这并没有什么大不了的。例如，在视觉方面，我们必须承认或多或少存在着一般性的幻觉。闭着眼睛或者在黑暗中时，我们看到的黑色就是这种没有外部刺激而产生的视觉感受。这不同于什么都没看到，不是用手指或者后脑勺看，也不同于由于没有外部声音刺激而什么都没听到的情况。闭眼时看到的黑色，更像是当我们看着一个表面是黑色的物体时，其反射的光给我们造成的印象，这种印象可以呈现各种层次不同的强度，甚至可以造成最高强度的视觉感受。的确可以说，这种内在的黑色可以出于纯粹的内在原因，而偶然地变成亮光或者发生包含着零星亮点的现象。

只要注意的话，我们就可以在闭上眼睛后看到的黑色中发现一种细小的光点，这种现象在不同的人身上，各种状态且不同视力的眼睛中都能够发现，并且在某些特殊疾病人群身上这种现象的程度可能被加强。而我的情况是，从我患眼病开始的这段漫长的时间里，我经常能够看到持续闪烁且非常明亮的光，这种情况会根据我眼睛产生的刺激而增强，并且存在着很大的波动。另外，这种活跃且主观的光现象在不同个体身上的形式可能会极为不同。在这里我将不会引用更多细节，建议读者参考眼睛疾病方面的书籍及生理学实验中关于主观光现象的章节。例如，《鲁特的眼科学》（Rüte''s Ophthalmol., p.192）。

这种内部视觉上的黑色也能够在深度上增加或减少。这方面的证据很容易找到。如果坚持专注地在一段时间里盯着一个黑色纸面上的白色圆盘，之后就会得到一个相对明亮背景上深黑色圆盘的后像，甚至将眼睛闭上并用双手捂住双眼（为了防止有光漏进眼皮里面来），还是能看到这个后像。同时在出现后像的位置，视网膜开始变得对外界的光线不敏感。如果在后像仍然存在时张开眼，盯着一个白色的表面，那么将会看到白色底面上有一个黑点。当眼睛疲劳时内在光就会变暗，当眼睛得到充分休息后内在光就会变得相对更亮。

无论是部分的还是整体的，是短暂的还是持续的，是仅影响视网膜还是影响视觉系统的中枢部分，感觉麻痹都能够产生和视疲劳类似的效应。只有视网膜上的部分区域受到影响的情况并不少见。把一个物体放在病人患病区域对应的视野内，让他看物体上灰色、黑色或彩色的光点，具体看到的颜色将取决于视觉对不同颜色光线感受性的减弱程度。[20]在有些被试身上这种现象是暂时性的。即使是出于内部原因，也都会导致整个视野永久或者暂时性地变暗。鲁特[21]“发现一位妇女在持续的光照条件下，眼睛会突然完全被黑暗笼罩。而可视的物体会时不时地突破黑暗，像幽灵一样出现，之后在她尝试要注视它们时，物体又会迅速消失”。

如果不仅是视网膜，连视觉的中枢部分都完全受损的话，那么人视野中的黑色感觉应该不仅仅是变暗，而应该是完全消失（就像是在闭起眼睛时视野边缘区域的感觉），也就是说这种情况下的眼睛，不会比手指或者是死亡的神经纤维能看到的东西更多。有关这种效果是否完全且永久的问题，我还没有能够找到相关的观察结论，也还没有从著名的眼科医师那里获得最终的意见；实际情况可能并不是这样的。然而根据鲁特提供的信息，这种情况的确会暂时且部分地存在[22]：“在神经错乱的病人身上有时会出现这样的情况，视网膜的部分区域出现暂时性退化，外部世界投影到这部分视网膜上的事物似乎完全不存在了。”[23]大脑里视觉感受的中枢部分很有可能和基础的生命活动存在根本的联系，因此不能完全且持久地在不涉及其他活动的前提下，暂停某一种活动。

在定律有效性并不存在下限的假设下，甚至对于内在光的光度学测量，也可以用与之前验证韦伯定律的实验类似的方案进行。在黑夜里，有一个物体挡住了灯光而产生投影，我们只要将灯往远离物体的方向移动，直到这仅被内在光填充的投影，刚好无法从同时被内在光和外在光照亮的背景中分辨出来。应用福尔克曼结果中获得的1/100这一数据，在这个距离开外，增加了内在光水平的灯光亮度只需要达到内在光强度的1/100，就能产生上述效果。

实际上这一实验已经有人做过了，即使实验完成得比较随意。在一道又长又暗的走廊里，将硬脂蜡烛放置在物体前，背景为一块黑色天鹅绒，周围有一些空间，当蜡烛被往后移动87英尺时，福尔克曼就再也看不清黑色天鹅绒上的投影了。在这个距离，往原内在光水平上增加1/100的内在光亮度，就相当于在这个距离1/10的条件下，也就是8.7英尺时的烛光亮度。因此，这个实验告诉我们，一块黑色的背板接收来自一根约9英尺外硬脂蜡烛的光，和没有外部光照时的内在光亮度是相等的。也就是说，前后两种情况下的测光亮度是相等的。

也许有人会觉得这种内在光的亮度非常明显且太高了，因为它被假定为某个物体表面被一支蜡烛在约9英尺之外照射时表现出的亮度，但是我们也不能忽略的是，在这个实验中采用的是黑色天鹅绒制成的背景，它是这个判断过程中的基本事实。实际上一个全黑的表面能够吸收所有的光线，所以它是不会被照亮的，哪怕是被任意强度的火苗在非常接近的距离内进行照射。只有在采用非全黑物体进行的实验环境中，才能允许我们来对全黑背景下的低亮度水平进行讨论。在这种环境中，非全黑的背景仍可以反射一些光，但是非常少，接近于阴影水平，这时能够非常好地对内在光的强度进行测量，这一点已经在实验中被证实。

我在这里引用的结果，只是福尔克曼利用自己的眼睛在仔细而小心进行的实验中获得的。他还另外叫了两个人来进行这项实验，他们在87英尺时却仍然能识别出投影，由于环境的性质原因，超过这个距离实验就无法推进了。这个结果说明要么是他们的内在光水平不同，要么是他们的感受性不同。福尔克曼尝试继续进行这些实验，以进一步完成更准确的测定。同时他的结果已经足以证明内在光的测光强度既不是不可确定的量，也不是小到无法测量的。这一点就是我们现在所需要的结论。

因此根据上面所说的内容，我们知道了在完全没有外在光源的情况下，视野中感受到的黑色仍应被视为一种真实的视觉感受，因此我们不可以忽视在这种情况下对韦伯定律的检验。

如果我们在没有使用工具的前提下，裸眼观察两朵十分相似的云或其投影的微小差异，那么内在光的亮度应该同时加于两者上。如果我们在眼前放上灰色滤镜，以降低云朵或其投影的亮度，这种情况下内在光的亮度是不会改变的。每次内在光都是以固定的强度加在云朵或投影上，因此放上滤镜前后内在光在总亮度中的比例实际上是不同的，同时与先前的相对差异也不同，而且变化的方向是下降的，根据韦伯定律，这必然会导致差异感受的下降。的确，如果我们使用更深的滤镜，那么内在光最终将会取代投影之间的细微差异，所有的差异都会消失。实际上，眼睛内在光的作用形式和我们想象的不一样，它非常类似于在明亮的白天里，星星都消失时的情况。因此，只有在内在光和外在光源的亮度相比小到可以忽略时，才能采取外在光刺激对韦伯定律进行证明。甚至连马森也曾声明，只有在光线的强度可以满足一般阅读的要求时，韦伯定律才能发挥作用。换句话说，如果在光线太暗的条件下进行实验，那么投影间的细小差异会变得更不清楚。相应的规则已应用于所有的改进实验中，并且已多次被经验证实。

有一个发现可以佐证我的观点，即可以通过一种看上去似乎违背但实际上却符合以上原则的方法，来使得亮度与内在光之间的差异达到极小甚至消失。

在夜晚，注视一颗刚好可从背景的黑色夜空中辨认出来的星星，那么通过戴上一副墨镜或者将一盏灯凑近眼旁，就会发现再也看不到这颗星了。此现象还有一个对应的完美案例，它与1858年10月初的那颗灿烂的彗星[24]有关。使用灰色或有色的滤镜，或者将一盏明亮的灯靠近眼旁，都可以看到彗尾缩短了，当我使用在白天时能够看到云彩最佳细节的深红色滤镜来观察时，整颗彗星甚至都会变得看不见。这其中的 接下来将讨论两套重要的系列实验，一种是双手操作实验，另一种是单手操作实验（分别用右手和左手进行实验）。两种实验的过程基本类似，均包含六个水平的质量，即300、500、1000、1500、2000和3000毫克，两类实验的结果基本一致。单手操作系列于1856年的10月到11月间进行，双手操作系列则是在1856年的12月到1857年的1月间进行。这些实验的环境从本质上说，与描述的一般条件一致。我们需要特别注意以下事实：

每个系列实验均包含了32个实验日，每个实验日里有12个实验区段，每个区段由64次重量提举组成，也就是说实验总共包括32×12×64＝24576次简单提举的试次。每一个标准重量P（其重量将定时更换）对应两个特定的增量比例值作为附加重量，分别是0.04P和0.08P。使用后一种附加重量更容易为被试察觉出变化，但从后续表格中可以看出，被试仍然会犯下相当量的错误，因为被试高估了自己的能力。这个结果的原因可以参考有关实验程序的阐述，其中被试的每次判断都仅仅是基于一次配对的重量提举，而不是基于多次重复的提举，在这个程序中被试对D＝0.08P的比较很少产生错误的判断。每天的实验中需要举起12×64＝768次重量，给六个标准重量中的每一个都分配了两个实验区段，每个区段64个实验试次，每天所有的实验试次均是与同一个相对D值进行比较，D值只有在数日或者数周后才会更改一次，这在下文中将会介绍。同时，每天实验程序中标准重量的出现顺序会按照升序（↑）和降序（↓）隔日进行轮换。无论是双手还是单手操作，每个标准重量都对应了32×128＝4096次重量提举的比较。其中2048次是与D＝0.04P进行比较，与D＝0.08P进行比较的次数相同，这2048次中，重量升序（↑）和降序（↓）的次数分别为1024次。双手操作实验中每天针对每个标准重量的128次提举是连续的。而在单手操作中则每64次左手实验后接着进行64次右手实验，并且接下来的实验部分中轮换两只手进行实验的顺序。D＝0.04P与D＝0.08P这两种附加重量条件，在双手操作实验中是两天一轮换，而在单手操作实验中则每八天一轮换。这样的实验程序导致在双手实验系列中，两种D导致的感受性值非常相近。因此这个实验系列可以用来证实我们的定律，即假如感受性h是固定的，根据D的大小就可以获得正确判断占总判断次数的比率r/n。[40]但在单手操作实验中情况则不同，如在我的评论中提到的，以0.08P作为附加重量的实验周中，感受性值与0.04P的实验周相比，前者较低。然而现在我们关注的是标准重量的大小对于感受性值的影响，这在单手实验与双手实验中的结果是一致的。

为了开始最简便的系列观察操作——即使这些观察并不是最精确的——我将先给出所有标准重量P对应的总正确判断数r。这些值是按照它们的主要条件进行分类，而不是根据四种主要条件准确对应的测量方法进行分类（即可以计算出t=hD值的方法）。但即便不进行上述计算，我们关心的主要结果，也可以通过正确判断的总次数r与所有判断之间的关系获得。对于同样的实验系列结果，即便采用了更精确的处理方式，也不能获得比先前更精确的证明结论。

这里使用的重量单位均为克。

为了防止下表中数字的意义有可能被误解，所以我将重点解释一下 Ⅵ.双手操作系列中的hD值　n＝64

Ⅶ.单手操作系列中的hD值　n＝64

在这里我将通过表Ⅴ和表Ⅵ的对比，再次阐述一下计算方法中的要点。两张表都是属于双手操作系列，并且是基于同样的数据。它们的区别仅在于表Ⅴ中的数据是以n为512为基础计算hD值的，没有进行分组，而表Ⅵ是按照n为64进行分组来分开计算的。因为这个区别，后一个表中所有的数值都比前一个表中所有的值略大。假如这种区别相对于所有的数值都是一致的，就不必对这个问题太过担心，因为我们关注的只是成比例的变化。然而，也有数字变化的比例比其他数字要大。通过对每个实验系列进行单独的检验后我们发现了造成这个差别的原因，是因为执行每个系列的实验月份中，p和q完全不可能保持稳定，而是发生不规则的变化。通过将这些实验系列继续细分为如此多的子集，就可以忽略每组中的不规则变化，这样我们就能通过消除p和q的变异性而去掉这一不利因素的影响。因此，表Ⅵ的数据比表Ⅴ的数据更有价值。然而与此同时，两个表中的数据并没有出现决定性的差异，所以人们很可能选择 如果我们将多种附加重量加在同一个标准重量上，就可以更容易地发现当附加重量增加时结果的变化。因为这样能更好地感觉，所以在使用正误法进行重量比较实验时，在相同总实验次数前提下，正确与错误判断次数的比值有了提高。但是正确判断的次数却没有按重量增加的比率上升，而是按一个更小的比率增加。

基于给出的规则，根据基本表的数值，找到正确判断的次数随着附加重量变化的规律，已经通过实验结果获得了证实。

以上结果，是在标准重量为300、500、1000、1500、2000和3000克，同时附加重量设为标准重量的0.04和0.08倍的实验中获得的。假设重量提举过程中的时间和空间顺序导致的常误被消除的前提下，无论是单手还是双手提举重量，获得的结果都是一致的。

温度

当谈到韦伯定律在温度感受上的适用范围时，还有很多问题有待解决。韦伯[45]倾向于认为：“我们实际感受到的是皮肤温度的上升或下降，而不是实际温度的上升或下降的程度。比方说，人们通常不会注意到自己的前额或者手哪个更暖，直到他把手放在前额上，当人们这样做的时可以经常感受到较大的温度差异，有时他可能发现自己的手更温暖，而其他时候可能是前额更温暖。”韦伯提到的很多其他体验也基本上证实了这种观点。然而，如果感受到的温度与一般或平均温度之间的差异足够大，则我们就很有可能可以感受到持续的温暖或是寒冷。

然而如果有人想利用韦伯定律研究对于温度感受的差异性，那么刺激与之比较的参照点不是绝对的零度，而应该是我们感觉起来不冷不热的温度水平，所有相应的温度感受研究都将围绕着这个水平点展开，这是毫无疑问的。我们了解感受的差异可增可减，而韦伯定律需要解释的问题就是，温度发生等比例的相对增加时，即温度差而非温度的绝对值按照相等比例变化时，是否会带来相等的可觉性，通俗来说，即是否会带来温度感受的等比例增加。

根据一部分极不严谨的实验，我总结了关于这个问题的研究准则，这些准则似乎只能在中等水平的温度下起作用，而不能适用于很热或很冷的温度条件。

我采用了最小可觉差法，用六天的时间进行相关实验（1855年12月）。实验设计借用了韦伯的方法，将同一只手的两根手指先后浸泡在两个盛有在不同温度水的容器中，浸泡的深度相同。实验使用的是莱比锡物理系内的一对格莱纳温度计（Greiner，一著名温度计品牌）来对水的温度进行精确和准确的测量，温度记录的精度达到0.5个列氏温度（R）等级。通过该温度计，可以将0.5度10等分或是将1度20等分进行简单估计。我非常感激将这两个温度计借给我进行实验的研究员汉克尔，他告诉我其中一个温度计测得的度数比另一个温度计高0.05度，我自己也证实了这个系统误差，并且在每次观察之后都对这一常误进行了校正。系列实验条件中其他的情况，我将在给出结果时进行必要的说明。[46]

温度大约处于10°到20°R范围内时，被试对温度差异的感受非常敏感，最小可觉差很难被精确测定。当感受性达到最大值时，任何可以忽略不计或接近忽略不计的差异都能被感觉到，因而感受性测定受到这种限制的影响，无法直接准确地测得。我的实验温度范围是从20°至正常体温这段区间，超过这段区间我的实验就不管用了，当在实验中采用的温度超过了冰点和体温间的中点值（＝14.77°R[47]）时，我发现实验结果特别契合韦伯定律，因为在这个平均值之上时，温度对应的最小可觉差正好能够和温度的增加成比例。在后面的实验中，需要记录的数据有温度差D以及对应的即时温度t，这些数据可供任何有关最小可觉差的计算所使用。差异D是根据观察时所使用的两个温度间差异的平均值进行定义的。D值的计算基于这样的假设，即最小可觉差是与温度减去14.77°得到的数值成比例的。下表的 因为在我自己的实验系列Ⅰ中，常误基本可以忽略不计，而且它的变异几乎不能对结果产生较大的影响，所以1/62.1这个校正值可以被认为是足够精确的。因此我没有对这个数据的有效性给予特别的关注。

下面我们应该回过头来看一下微距实验系列中的结果。这些实验均使用千分尺来完成，最小距离单位为0.01毫米，该单位还可以再十等分来进行估计。后续表格中使用的单位为0.001毫米，比如距离300指的是0.300毫米的实际距离，误差和265则等于0.265毫米。其中的小数部分——实际上它们是多余的——是因为对原始误差进行校正后而产生的。

设备中的距离[56]是三根0.445毫米粗、11毫米长的细平行银线之间的距离来定义的。研究者从不同的距离观察这三根线，距离值总是以整的毫米数据表示，观察要么是对着牛奶色玻璃灯罩制成的台灯进行，要么是对着明亮的天空进行。

福尔克曼的实验系列中，最小距离值在括号中列出，因为这些距离并不适用于这一实验系列，在后续计算中直接删除。产生这种偏差的原因是因为银线在光照下会反光，导致在实验中被试很难看到这些线。福尔克曼发现这种问题条件下进行的估计很难与其他距离条件下的进行比较。阿培尔的视觉非常敏锐，这种反光对他来说不成问题，所以在他的实验数据中没有进行这种删除的处理。

除了这里介绍的微距实验之外，还有两个另外的微距实验系列，这里就不再进行介绍，因为实验设计中的距离过小，两个点或两根线之间太过接近，同时得到的数据也非常杂乱，没有规律可循。

实验系列Ⅳ：福尔克曼（1857年3月22日—4月1日）

实验内容为判断333毫米之外的七种水平距离。

距离阈限值，福尔克曼实验系列Ⅳ　m＝30，μ＝4

实验系列Ⅴ：福尔克曼（1857年4月至6月的某个时间段）

实验内容为判断333毫米之外的六种垂直距离。

在垂直距离的实验中，观察者为了克服判断时视力不清造成的困难而佩戴了眼镜，不过在所有的水平距离实验中观察者均没有佩戴眼镜。

距离阈限值，福尔克曼实验系列Ⅴ　m＝96，μ＝1

实验系列Ⅵ：阿培尔（1857年5月和6月）

实验内容为判断370毫米之外的七种水平距离。

距离阈限值，阿培尔实验系列Ⅵ　m＝48，μ＝2

实验系列Ⅶ：阿培尔（1857年10月）

实验内容为判断300毫米之外的六种水平距离。

∑Δ的计算进行了两次，一次使用的是μ＝2，一次使用的是μ＝6。

距离阈限值，阿培尔实验系列Ⅶ　m＝33，μ＝2

将这些表中的数据结合起来（除去括号中省略的数据，原因在前面已经叙述过）就会发现，一致性不仅出现在同一个观察者的不同系列实验结果中，在不同观察者的结果中也同样存在。误差和随着距离变大而增大，但是它们与距离之间的比值却比预期来得小。即使是我们省略的两个额外实验系列中的数据，也同样完全支持这个结论。之前曾提到过，我们可以将误差视为由两个主要部分构成，一部分是在不同距离之间保持不变的，称之为福尔克曼常量。我用字母V来表示它。另一部分误差与距离大小成比例，叫做韦伯变量，其在单位距离下的值我用W来表示。对于每个距离而言，W必须乘以相应的D值，才能给出成相同比例的WD值。

根据误差源的结合法则，每个距离对应的误差和∑Δ由V部分和WD部分组成，但不是简单地将两部分值相加。因此不能写为

∑Δ=V+WD

但是两类误差的平方和与误差和∑Δ的平方应该是相等的，这样我们有

（∑Δ）2=V2+（WD）2

因此可得

因为误差和的平方（∑Δ）2相比于平方和∑Δ2有更高的优先级，根据误差论就可以将上述等式中误差和的平方换做是误差的平方和。然而从生理学因素上来考虑，或许和的平方的形式更加符合，后面我会继续提及这个问题，并且我使用这一推论作为后面内容的基础。

通过理论推导和根据我们的实验直接可以得出，两个给定的独立误差源，其中一者产生了误差总和A，另一者为误差总和B，当它们组合在一起的时候，不可能简单地认为它们的误差总和正好就是A+B，而是会产生一个比这个加和值小一些的结果。平均来说，产生相反符号的误差概率与相同符号的概率基本相同，但只是在后一种情况下，两者合成产生的误差才等于它们的总和，而在 物质财富与心理财富

韦伯定律可以适用于更广泛的领域。我们的物质占有（物质财富）作为一个惰性存在而言对我们没有任何的价值和意义，但是却构成了唤醒精神价值（心理财富）的环境。从这个角度而言它们取代了刺激。在这一点上，我们可以说一美元对穷人的价值比富人更大。它可以让一个乞丐开心一整天，却不能引起百万富翁的注意。韦伯定律可以解释这样的情况。如果想在被拉普拉斯称为心理财富的指标上增加相同的额度，那么在物质财富上增加的额度就与现有的物质占有量成比例。

这个原理最早出现在丹尼尔·贝努利的论文中，论文名为《各种新理论的理想大小》（大意，Specimen theoriae novae de mensura sortis, inComment.Acad.scient.imp.Petropolit.T.V., 1738）。之后被拉普拉斯在他的著作《概率论分析》（Théorie analytique des probabilités, pp.187,432）中引用，并且在后续的推论中进行了发展。后来泊松在他的《概率论研究》（Recherches sur probabilité）中提及并接纳了这一观点。

物质财富和心理财富最早并不是由贝努利而是拉普拉斯提出的。贝努利在简要介绍了这一观点后曾提道：

显然不可以通过价格来估计一个物质的价值，我们必须从这个物质能带来的利益来进行判断。价格是物质对自身价值的估计；而利益则包含了人的心态。因此，毋庸置疑的是，1000达科特[63]相对于穷人的价值比富人来说要更高，虽然钱币的量是相同的。

他进一步论述道：

因此非常可能的是，不论多小的终极利益增加值，都是与人的地位高低成反比例关系的。

他基于自己的微分方程和对数方程提出了上述观点。我们之后还可以同样使用韦伯定律来建立更加一般化的理论基础。

拉普拉斯写道：

我们必须区分两种对于财富的渴望类型，一种是相对财富，一种是绝对财富：后者因为独立的动机而更可取，前者却会因为动机的变化而变化。对于相对财富的值没有一般性的估计手段：很自然地会假设一个无限小的总和相对值应该与其绝对值大小成直接的比例关系，并且与一个人的总财富值成反比。显然一法郎对于一个拥有很多钱的人来说有价值，但是很少，而且估计其相对值最自然的方法就是对人所拥有的财富值取反比。

他继续写道：

根据这个原则，x表示一个个体的物质财富，其增量dx表示个体得到的心理财富，它与物质财富成反比；精神财富的增长可以用kdx/x表示，k代表常数。因此建立一个精神财富y与物质财富x的关系式如下：

y=klogx+logh

h表示任意常量，取决于y值相对于给定x值的变化。考虑到自然规律，我们不能假设x或y为零或是负数；对于一无所有的人则将他自己的存在当作心理财富，相比于具体的物质财富所产生的价值，这种存在的价值很难定义，但我们也不能小看这种价值，因为它对于我们的生存是必需的；我们可以想象可能这个一无所有的人会不满足于得到仅100法郎的钱，同时他也很有可能不经告知就将其花光了。

泊松写道：

由于一个人收入的价值取决于他的财富状况，我们因此分离了相对价值的数学期望并且将其命名为心理期望值。当它是一个无穷小的量时，我们将其与这个人当前拥有的财富之间的关系当作是心理期望值的测量指标，这个值可能正也可能负，相应地代表这种财富最后是增是减。我们通过对这一指标进行积分运算可以推导出与先前准则一致的结论，大家应该可以都直接猜测出这个结果。

* * *

注释：

[1] Delezenne inRecueil des travaux de soc.des sc.de Lille1827 im Ausz.inBull.des sc.nat.，Ⅺ，p.275, und inFechner''s Repertor.der Experimentalphysik,Leipzig, 1832, vol.Ⅰ，p.341.

[2] 现制中的打兰为盎司的1/16，此处可能是新旧制重量单位的差异。——译者注

[3] 也称达盖尔照相法，指的是利用镀有碘化银的钢板在暗箱里进行曝光，然后以水银蒸气进行显影，再以普通食盐定影，得到的实际上是一个金属负像，但十分清晰而且可以永久保存。——译者注

[4] 19世纪30年代末，费希纳为了获得后像而注视太阳过长的时间，因而导致自己的视网膜受损。——译者注

[5] 拉卡耶（Lacaille），法国著名的天文学家，1757年编制了包括400颗亮星的星表。——译者注

[6] 由于我无法获得博格本人的文章，所以这里我引用的是马森的文章，即Ann.de Chim.et de Phys., 1845, Vol.XIV, p.148。

[7] Ann.de Chim.et de Phys., 1845, Vol.XIV, p.150.

[8] 由W.G.汉克尔编著（W.G.Hankel, T.Ⅰ，p.168）。

[9] Ann.de Chim.et de Phys., 1845, Vol.XIV, p.150.

[10] 据我所知，马森的研究从没有刊载在德国的科学期刊上，所以我有必要在这里逐字逐句引用他的原文。

[11] 即我们现在所说的油灯。——译者注

[12] 将太阳或其他天体的光线反射到固定方向的光学装置，又称定星镜。——译者注

[13] 这个圆盘包含了一个隔断的黑色扇区。

[14] 马森在这里指的是由若干设备组成的测光装置，他在原作中对此装置有所描述。该装置包括一个快速旋转的、被分为若干白色和黑色扇区的圆盘，以及一个用以产生照明的电火花的设备。

[15] Steinheil，Elemente der Helligkeits-Messungen am Sternenhimmel, in denAbhandl.der mathemat.phys.Kl.der k?n.bair.Akad., 1837.

[16] 这里指的是费希纳的关于心理物理学定理和星等估算的文章，文章刊载于Abhandl.d.Kgl.S?chs.Ges.d.Wiss., 1859, Vol.Ⅳ，pp.457-532和Berichte d.Kgl.S?chs.Ges.d.Wiss., 1859, Vol.Ⅺ，pp.58-86。——译者注

[17] 参见这里指的是费希纳的关于心理物理学定理和星等估算的文章，文章刊载于Abhandl.d.Kgl.S?chs.Ges.d.Wiss., 1859, Vol.Ⅳ，pp.457-532和Berichte d.Kgl.S?chs.Ges.d.Wiss., 1859, Vol.Ⅺ，pp.58-86。——译者注

[18] 在完全黑暗的环境里，眼睛仍然能够产生光亮的感觉，随着时间延长这种感觉会加强。费希纳称这种光为Augenschwarz（意思是眼中的黑暗），赫尔姆霍茨称其为Eigenlicht（眼睛的自发光），通常将其翻译为眼睛或视网膜的自发光或者内在光。爱德华·黑林（Edward Hering）称其为恒定的灰色，而缪勒（G.E.Müller）认为这种光是在视觉适应过程中视网膜完全无法发挥功能时大脑皮层视觉区域的副产物，因此将其命名为皮质灰。更现代的术语是视网膜自发光感或者是视觉兴奋的噪音水平。——译者注

[19] Sillim.J.1850.Ⅸ，p.443.

[20] Ophthalmol.，Ⅱ，p.458.

[21] Ophthalmol.，Ⅰ，p.156.

[22] Ophthalmol., p.154.

[23] 格莱费（Gr?fe）的一篇论文《关于弱视导致的视野遮断现象》，刊载于《格莱费的眼科学纪要》（Gr?fe''s Arch.f.Ophthalmol.，Ⅱ，Abth.2, p.258），这篇论文研究的结果显示，这些暂时性退化的区域对应的视野只是变暗，而并不是真正的消失。

[24] 名为多纳蒂彗星，由意大利天文学家多纳蒂发现，1858年是它上一次最接近地球的时候。——译者注

[25] Pogg.Ann., XXVII, p.494.

[26] Pogg.Ann., LXXXVI, p.513.

[27] 尼科尔棱镜是一块被切开的菱形方解石，穿过它的光会被分为两束，其中正常的那束光被反射至另一个方向之后被吸收，而另一束透过了尼科尔棱镜的光则直接转换为偏振光。洛匈棱镜由两块并列的楔形方解石组成；它能将一束光分成两束光，其中一束是正常的光而另一束是特别的光，阿拉戈使用它来产生两个影像。——译者注

[28] 角度的测量单位之一，1角分为1/60度。——译者注

[29] Ueber Hemeralopie, p.13.

[30] 人们从很久以前就发现了运动对注意的影响，例如看或用皮肤感觉运动的物体，以及听声音的音高变化，这种运动甚至可能使感觉迟钝的界限降低，使得人可以感觉到原先无法感觉到的刺激。——译者注

[31] Arago''s Werke，由汉克尔编辑。

[32] Helmholtz in denBerichten der Berl.Akad., 1855, pp.757 ff.

[33] Vierordt''s Arch., 1856, H.2, p.185；Pogg.Ann., XCVIII.

[34] 事实上，这一结论只有当实验是在自由活动的空间中进行之时才会成立，而该实验是在封闭房间内进行的。

[35] Abhandl.d.baier.Akad.，Ⅶ，T.2.

[36] Gehler''s W?rt.Art.Geh?r., p.1217.

[37] 如果使用木材，我无法使两个音摆发出相同的声音。

[38] 沙夫豪特认为声音的强度和下落高度的平方根成正比（München.Abhandl.，Ⅶ，p.517），但是根据上面的比例我认为这一规则并不正确。

[39] 这是从下面这个著名的公式得出的，即

[40] 如 [41] 另外还存在一个问题，即：空气阻力作为一个特定值，对于皮肤造成了多大程度的影响？不过可以说，似乎这种因素已经包含在机体，即手臂的重量里了。

[42] 关于这部分内容我还有其他可用的实验系列。

[43] 对于8hD这列而言，对应的可以说是平均为0.06P的结果。更准确地说，其实D＝0.04P和D＝0.08P对应的h值应该分开来在4hD这列中进行计算，这样才能获得最准确的h平均值。

[44] 从表Ⅵ中对应的4908可知这里的4909是笔误。——译者注

[45] Der Tasts.und das Gemeing.，p.549.

[46] 1℃＝5/4°R。费希纳的这部分实验均是采用列氏温标进行读数的，除非有特别注明。——译者注

[47] 这个温度是参考了由利希滕菲尔（Lichtenfels）与弗洛里什（Fr?hlich）在《维也纳学会报告》（Abhandl.Der Wien.Akad.）中提到的体温数据而计算出来的。

[48] 这部分叙述疑有误，应是在温度升序实验中总是先浸泡在较冷的水中，而在温度降序实验中先浸泡在较热的水里。——译者注

[49] 我在这里总是引用一对对比温度中较低的那个值。

[50] 此数据疑有印刷错误。——译者注

[51] Vierordt''s Arch.，Ⅺ，pp.844, 853.

[52] 就意义而言，这个误差不能与之前提到的常误混淆起来。它是来源于可变误差的，就如其他误差成分中的表现那样，另外的这部分误差被称为常量的原因仅仅是在通过上述手段进行测定的情况下，当标准间距改变时这个误差却不会变，而且不会如韦伯实验中的可变误差那样会与标准间距成函数关系变化。

[53] 这个误差的特殊分布导致了表（1）中的一些数据比表（2）中的略小。

[54] 最小二乘法从理论上而言要更准确一些，但是实施起来更复杂。而且与已有方法获得的结果相比，两种方法差距并不大，所以并没有必要改用最小二乘法。

[55] 如果还有人出于同样的原因无法信任上述校正方法，那么我想说的是，提到的对均方差的校正已为所有的数学家和天文学家所接受，其中的误差产生原因和我们在这里提到的非常相似。

[56] 更多的细节请参见Berichte de s?chs.Soc., 1858, p.140。

[57] 计算方法是将数据代进线性公式V2+D2W2=（∑Δ）2，其中V2和W2是未知的。而后V和W的值可以根据V2和W2开根号得到。V和W的或然误差，可以通过观测而得的（∑Δ）2值分别计算出的V2和W2，开方得到V和W值，之后根据统计原理，分别除以2V和2W而得。

[58] 即眼节点。眼中的一个圆形小结节，感光用。——译者注

[59] 未校正误差δ是由两个部分组成的：可变误差Δ与常误c。V和W因此对应的是可变误差Δ中的组成部分。

[60] 这不是我自己的结论，我只是引用了莫比乌斯教授的观点。

[61] 眼球旋转的中心点。——译者注

[62] 根据Wagner''s W?rterb.Art.Sehen.，p.234。

[63] 旧时通用于欧洲的银币。——译者注