第IV部分 论由给定的焦点，求椭圆形、抛物线形和双曲线形轨道_自然哲学的数学原理

引理 XV

如果由椭圆或双曲线的两个焦点S，H，两直线SV，HV向任意第三个点V倾斜，它们中的一条直线HV等于图形的主轴，亦即焦点所位于的轴；另一条［直线］SV被垂直落在它上面的TR平分于T；那条垂线TR 与圆锥截线在某处相切；并且反之亦然，如果相切，则HV 等于图形的主轴。

因垂线TR截HV，若需要就延长之，于R；并连结SR。由于TS，TV相等，直线SR，VR且角TRS，TRV也相等。因此点R在圆锥截线上，而垂线TR与此圆锥截线相切；且反之亦然。此即所证 。

命题XVIII 问题X

给定一个焦点和主轴，画出椭圆形或双曲线形轨道，它通过给定的点并与位置给定的直线相切。

设S为图形的公共焦点，AB为任意轨道的主轴的长度；P为一点，轨道应经过它；且TR为一直线，轨道应与它相切。以P为中心，若轨道为椭圆时，以AB－SP为间隔；若轨道为双曲线时，以AB+SP为间隔，画圆HG。往切线TR上落下垂线ST，且它被延长至V，使得TV等于ST；又以V为中心，AB为间隔画圆FH。由这一方法，或者两个点P，p，或者两条切线TR，tr，或者点P和切线TR被给定，两个圆可画出。设它们的公共部分是H，且由焦点S，H，那个给定的轴，轨道被画出。我说图已做出。因所画轨道（由在椭圆时PH+SP，且在双曲线时PH－SP，等于轴）经过点P，且（由上面的引理）与直线TR相切。由同样的论证，此轨道或者经过两点P，p，或者与两直线TR，tr相切。此即所作 。

命题XIX 问题XI

对于给定的一个焦点，画出抛物线形轨道，它经过给定的点并与位置给定的直线相切。

设S为焦点，P为一个点，且TR为所画轨道的切线。以中心P，间隔PS画圆FG。由焦点往切线上落下垂线ST，并延长它至V，使得TV等于ST。按同样的方式画另一圆fg，如果另一个点p被给定；或者求得另一个点v，如果另一切线tr被给定；然后引直线IF，它与两圆FG，fg相切，如果两个点P，p被给定；它经过两点V，v，如果两条切线TR，tr被给定；它与圆FG相切并经过点V，如果P和切线TR被给定。往FI上落下垂线SI，且它平分于K；则由轴SK，主顶点K，抛物线被画出。我说图已做出。因为抛物线，由于SK和IK，SP和FP相等，它经过点P；且（由引理XIV的系理3）因ST和TV相等及STR为直角，它与直线TR相切。此即所作 。

命题XX 问题XII

对于给定的一个焦点，画出类型给定的任意轨道，它通过给定的点，且与位置给定的直线相切。

情形1 给定焦点S，设要画的轨道ABC经过两点B，C。因为轨道的种类已给定，则主轴比焦点之间距离的比亦被给定。按照那个比取KB比BS，以及LC比CS。以中心B，C，间隔BK，CL画两个圆，且在直线LK上，它切这些圆于K和L，落下垂线SG，同一垂线在A和a被截，使得GA比AS和Ga比aS如同KB比BS，并由轴Aa，顶点A，a，轨道被画出。我说图已做出。因为若H为所画图形的另一个焦点，又由于GA比AS如同Ga比aS，由分比Ga－GA或Aa比aS－AS或SH按照相同的比，且因此按照要画的图形的主轴比其焦点之间的距离所具有的比；所以画出的图形与要画的图形的种类相同。又因KB比BS和LC比CS按照相同的比，这个图形经过点B，C，由《圆锥截线 》这是显然的。

情形2 给定焦点S，要画出一条轨道，它与两直线TR，tr在某处相切。由焦点向切线上落下垂线ST，St，并延长它们至V，v，使得TV，tv［分别］等于TS，tS，Vv平分于O，并竖立无限的垂线OH，无限延长的直线VS在K和k被截，使得VK比KS和Vk比kS如同所要画的轨道的主轴比其焦点之间的距离。在直径Kk上画圆截OH于H；并由焦点S，H，等于VH的主轴，轨道被画出。我说图已做出。因为平分Kk于X，并连结HX，HS，HV，Hv。因为VK比KS如同Vk比kS；并由合比，如同VK+Vk比KS+kS；再由分比，如同Vk－VK比kS－KS，亦即，如同2VX比2KX和2KX比2SX，因此，如同VX比HX和HX比SX，于是三角形VXH和HXS相似，且所以VH比SH如同VX比XH，因此，如同VK比KS。所以画出的轨道的主轴VH比其焦点之间的距离SH的比，与所要画的轨道的主轴比其焦点之间的距离所具有的比是相同的，因此是相同的种类。此外，由于VH，vH等于主轴，且VS，vS被直线TR，tr垂直平分，显然（由引理XV）那些直线与所画出的轨道相切。此即所作 。

情形3 给定焦点S，要画出一条轨道，它与直线TR在给定的点R相切。在直线TR上落下垂线ST，延长它至V，使得TV等于ST。连接VR，无限延长的直线VS在K和k被截，使得VK比SK和Vk比Sk如同所要画的轨道的主轴比其焦点之间的距离；且在直径Kk上画圆截延长的直线VR于H，并由焦点S，H，等于直线VH的主轴，轨道被画出。我说图已做出。因VH比SH如同VK比SK，因此如同所要画的轨道的主轴比其焦点之间的距离，由第二种情形的证明，这是显然的，所以所画出的轨道与所要画的轨道的种类是相同的，由于角VRS被直线TR平分，它与轨道在点R相切，由《圆锥截线 》这是显然的。此即所作 。

情形4 对于焦点S，现在要画出轨道APB，它与直线TR相切，且经过切线外任意给定的点P，相似于以主轴ab和焦点s，h所画的图形apb。在切线TR上落下垂线ST，并延长它至V，使得TV等于ST。再作角hsq，shq等于角VSP，SVP；且以q为中心，以比ab如同SP比VS的间隔画圆，截图形apb于p。连结sp并引SH，它比sh如同SP比sp，构作角PSH等于角psh以及角VSH等于角psq。此后，由焦点S，H，和等于距离VH的主轴AB，圆锥截线被画出。我说图已做出。因为，如果引sv，它比sp如同sh比sq，构作角vsp等于角hsq以及角vsh等于角psq，三角形svh，spq是相似的，且所以vh比pq如同sh比sq，亦即（因三角形VSP与bsq相似）如同VS比SP或ab比pq。所以vh和ab相等。此外，由于三角形VSH与vsh相似，VH比SH如同vh比sh，亦即，现在所画出的圆锥截线的轴比其焦点之间的间隔，如同轴ab比焦点之间的间隔sh；所以现在画出的图形与图形apb相似。然而，这一图形经过点P，因为三角形PSH相似于三角形psh；且因VH等于图形的轴，又VS被直线TR垂直平分，此图形与直线TR相切。此即所作 。

引理 XVI

从三个给定的点向第四个未被给定的点引三条斜直线，它们的差或者被给定或者为零。

情形1 令那些给定的点为A，B，C，且第四点为Z，它是应当求的；因为直线AZ，BZ的差给定，点Z位于一双曲线上，其焦点为A和B，且其主轴是那个给定的差。设那个轴为MN。取PM比MA如同MN比AB，并竖立PR垂直于AB，又落下ZR垂直于PR；由这条双曲线的性质，ZR比AZ如同MN比AB。由类似的讨论，点Z位于另一双曲线上，其焦点为A，C，且其主轴为AZ和CZ之间的差，可以引QS，它自身与AC垂直，如果由这条双曲线上的任意点Z往QS上落下成直角的线ZS，这一垂线ZS比AZ如同AZ和CZ之间的差比AC。所以ZR和ZS比AZ的比被给定，并且由此ZR和ZS的相互之比被给定；且因此，如果直线RP，SQ交于T，再引TZ和TA，则图形TRZS的种类被给定，又直线TZ的位置被给定，点Z位于其上某处。直线TA，以及角ATZ亦被给定；又因为AZ和TZ比ZS的比被给定，它们的相互之比亦被给定；因此三角形ATZ被给定，它的一个顶点是点Z。此即所求 。

情形2 如果三条线中的两条，设为AZ和BZ，是相等的，因此引直线TZ，使得它平分直线AB；此后如上寻求三角形ATZ。此即所求 。

情形3 如果所有三条线相等，点Z位于过点A，B，C的圆的中心。此即所求。

这个引理中的问题亦在由维埃特编订的阿波罗尼奥斯的书《论切触 》中被解决。

命题XXI 问题XIII

对于给定的一个焦点画一条轨道，它通过给定的点并与位置给定的直线相切。

设焦点S，点P和切线TR被给定，需求另一焦点H。往切线上落下垂线ST，并延长它至Y，使得TY等于ST，则YH等于主轴。连结SP，HP，且SP是HP和主轴之间的差。按照这种方式，如果给定更多的切线TR，或更多的点P，总能找到由所说的点Y或P到焦点所引的同样数目的线YH或PH，它们或者等于轴，或者它们以给定的长度SP不同于轴；于是它们或者相等，或者有给定的差，且由此，由上面的引理，另外一个焦点H被给定。同时拥有了两个焦点和轴的长度（它或者为YH，或者，如果轨道为椭圆，为PH+SP；若不然，轨道为双曲线，为PH－SP）也就有了轨道。此即所求 。

解释

当轨道为双曲线时，在这个轨道的名下我没有包括相对的双曲线［分支］。因为物体在自己的持续运动时不可能迁移到相对的双曲线［分支］上。

在给定三个点的情形可如此便捷地求解。设B，C，D为给定的点。连结BC，CD，并延长至E，F，使得EB比EC如同SB比SC，且FC比FD如同SC比SD。在画出的EF及其延长上落下成直角的直线SG，BH，又在无限延长的GS上取GA比AS和Ga比aS如同HB比BS；则A为轨道的顶点，且Aa为其主轴：轨道，依照GA大于、等于、或者小于AS，而为椭圆，抛物线或者双曲线；点a在第一种情形与点A落在线GF的同一侧；在第二种情形它远离以至无穷；在第三种情形它落在线GF的另一侧。因为如果向GF上落下垂线CI，DK；则IC比HB如同EC比EB，这就是，如同SC比SB；又由更比，IC比SC如同HB比SB或者如同GA比SA。且由类似的论证可证KD比SD是按照相同的比。所以点B，C，D在关于焦点S如此画出的圆锥截线上，使得由焦点S到截线上每个点所引的直线比由相同的点落到直线GF上的垂线按照那个给定的比。

最杰出的几何学家拉伊尔 ，在他的《圆锥截线 》卷VIII，命题XXV中给出此问题的解法，方法上与此没有大的差异。