第二部分 大小（量）_逻辑学

我们曾经指出过量与质的区别。质是最初的、直接的规定性，量是对“有”漠不相关的规定性，是一个不是界限的界限，是绝对与为他之有同一的自为之有，——是多个的一的排斥，而这个排斥又直接是多个的一的非排斥，是多个的一的连续。

因为自为之有物现在是这样建立的，不排除它的他物，反倒是在他物中肯定地继续自身，这样它便是他有，由于实有在这种连续中重又出现，同时这个实有的规定性也不再像在单纯的自身关系中那样，不再是实有的某物的直接规定性，而是建立起来的自身排斥自身，它所具有的自身关系倒不如说是在另一实有（一个自为之有物）中的规定性；而且由于这些实有同时又是漠不相关的、反思自身的、无关系的界限，所以规定性一般也是在自身之外，是一个对自身绝对外在的东西，也是一个同样外在的某物；这样的界限以及它对自身和某物对它之漠不相关，就构成某物的量的规定性。

首先要区别纯量和被规定的量，即定量。量最初作为纯量，是回归到自身的、实在的自为之有，这个自为之有在那里还没有规定性，是牢固的，在自身中继续自己的无限的统一体。

其次，这个统一体进到了在它那里建立的规定性，就其本身说，这个规定性同时又不是规定性，或说是外在的规定性。它变为定量。定量是漠不相关的规定性，即超出并否定自身的规定性；作为这种他有之他有，定量就陷入无限进展中去了。无限的定量又是扬弃了的、漠不相关的规定性，它是质的恢复。

甲、纯量

量是扬弃了的自为之有；进行排斥的一，对被排除的一只是取否定态度，过渡为与被排除的一的关系，自身与他物同一，因而失去了它的规定；自为之有便过渡为吸引。进行排斥的一之绝对冷漠，在这种统一中消融了。但是这种统一，既包含了这种排斥的一，同时又被内在的排斥所规定，它作为自己之外的统一，就是和它自身的统一。吸引也就是以这样的方式作为量中的连续性环节。

所以连续性就是单纯的、与自身同一的自身关系，这种关系不以界限和排除而中断，但是它并非直接的统一，而是自为之有的诸一的统一。那里还包含着彼此相外的多，但同时又是一个不曾区别的、不曾中断的东西。多在连续中建立起来，正如它是自在的那样；多个与那些为他物的东西都是一，每一个都与另一个相等，因此多就是单纯的、无区别的相等。连续就是互相外在的自身相等的这个环节，是有区别的诸一在与它们有区别的东西中的自身继续。

因此，大小在连续中就直接具有分立性，——即排斥，正如它现在是量中的环节那样。——持续性是自身相等，但又是多的自身相等，这个多却不变为进行排除的东西；只有排斥才将自身相等扩张为</a>连续。分立性因此在它那一方面是融合的分立性，其诸一不以虚空或否定物为它们的关系，而以自己的持续性为关系，而且这种自身相等在多中并不间断。

量就是连续与分立这两个环节的统一，但是，量之是这一点，首先是以两个环节之一、即连续的形式，作为自为之有的辩证的结果，这种结果消融为自身相等的直接性。量本身就是这种单纯的结果，因为这种结果还没有发展它的环节，也没有在它那里建立起环节。量之包含这些环节，首先它们是作为真正是自为之有那样而建立的，这个自为之有就其规定而论，曾经是那种扬弃自己的自身相关，永久走出自身之外。但是被排斥的又正是那个自为之有自己，因此排斥就是那个自为之有生产自身的向前奔流。由于被排斥者的同一性的缘故，这种分立就是不间断的连续；由于走出自身之外的缘故，这种连续不需间断，同时也是多，多仍然是直接在和自身相等之中。

注释一

纯量还没有界限，或说还不是定量；纵然它成了定量，也不由界限而受限制；它倒不如说是就在于不由界限而受限制，它所具有的自为之有是扬弃了的。因为分立是在纯量中的环节，所以可以说，在纯量中，量到处都绝对是一的实在可能性，但是也可以倒过来说一也绝对同样是连续的。

无概念的观念很容易使连续成为联合，即诸一相互外在的关系，一在这种关系中仍然保持它的冷漠和排他性。但是在一那里又表现出一自在而自为地自己过渡到吸引，过渡到它的观念性，因此连续性对一不是外在的，而是属于一的，在一的本质中有了基础。对于诸一说来，连续的外在性就是这个一般的一，原子论仍然依附于这种外在性，而离开这种外在性便为表象造成困难。——另一方面，假如一种形而上学要想使时间由时间点构成，一般空间、或首先是线由空间的点构成，面是由线构成，全部空间是由面构成，那么，数学是会抛弃这种形而上学的；数学不让这样不连续的诸一有效。纵然数学也这样规定例如一个面的大小，即这个大小被想象为无限多的线的总和，这种分立也只是当作暂时的表象，在线的无限多之中已经包含其分立之扬弃，因为这些线所要构成的空间毕竟是一个有限制的空间。

当斯宾诺莎用下列方式谈到量的时候，他所指的意思是与单纯表象对立的纯量概念，这对他说来，是问题主要所在：

“我们对于量有两种理解，一是抽象的或表面的量，乃是我们想象的产物；一是作为实体的量，是仅仅从理智中产生的。如果就出于想象之量而言，则我们将可见到，量是有限的、可分的，并且是部分所构成的，这是我们所常常做而且容易做的事；反之，如果就出于理智之量而言，而且就量之被理解为实体而言（但这样做却很难），则有如我在上面所详细证明的那样，我们将会见到，量是无限的、唯一的和不可分的。凡是能辨别想象与理智之不同的人，对于这种说法将会甚为明了。”（《伦理学》 (1) 首先，定量是具有规定性或一般界限的量，——它在具有完全的规定性时就是数。

此外还须预先提一下的，就是数一般可以用两种方式产生，或是统括，或是分开已经统括了的东西——因为两者的发生都用了以同一方式来规定的计数法，所以相当于数的统括的东西，人们可以称之为正面算法；而数的分开，人们可以称之为反面算法；算法本身的规定却并不依赖这种对立。

1.在这些解释之后，我们在这里随着举出计算的方式。数的最初产生，是多个本身的统括，即其中每个都被当作一——这就是计数。因为诸一彼此都是外在的，所以它们以感性的形象来表现自己，数由之而产生的运算，便是数指头、数点等等。什么是四、五等等，那是只能够指陈的。由于界限是外在的，所以这个连续过程中断的地方，毕竟是某种偶然的、随意的东西。在各种算法的进程中，出现了数目与单位的区别，这种区别为二进位、十进位等数的系统奠立基础。大体说来，一个这样的系统依靠采用什么数目作为经常反复的单位的那种随意性。

由计数而生的数，又将再被计数。数既然是这样被直接建立起来的，所以它们彼此间还没有任何关系，就被规定了；它们对相等和不相等是漠不相关的；它们相互间的大小是偶然的，因而一般是不相等的——这就是加法。人之所以体会到7与5构成12，那是由于用指头或别的东西对7再加上5个一；以后，人们就要把这种结果死背牢记，因为那里没有任何内在的东西。7×5＝35，也是如此，人们由于用指头等等来计数而知道对一个七再加一个七，如此五次就成功了，而其结果也同样要死背牢记的。现成的一数加一数，或一数乘一数，都只有硬记才能学会，由此便可以省掉去找出总和或乘积的计数之劳了。

康德曾在《纯粹理性批判》的导言 数学在不同运算的冲突中，表现出它由此而找到的结果，与用真正数学的、几何的、解析的方法所找到的，是完全一致的。但一方面并非一切结果都是这样，而引入无限的目的，也不仅仅在于缩短通常的路程，而是要达到用这些方法所不能导致的结果。另一方面，成果自身并不就验证了所采取的途径的方式有道理。但是无限的计算方式显出了以它被卷入貌似的不精确而遭到困难，因为它先以一个无限小量来增加有限的大小，而在以后的运算中，对这些大小又保留一部分，省略一部分。 (30) 这种解法的古怪之处，就是尽管承认了这种不精确，而所得的结果，却不仅是误差可以无须注意的大概或近似，而是完全精确。我们在结果以前的运算时，总不免想象有些定量不等于零，但是微不足道，可以不加注意。但是在我们所了解的数学规定性那里，一切精确性较大或较小的区别都完全抛掉了，正如在哲学中，所能谈到的，只有真理，而不是较大或较小的概然性。假如无限的方法及使用由于成果而得到辩护理由，那么，不管这个成果而要求对方法的辩护理由，这并不像问鼻子要使用鼻子的权利证明那样多余。因为数学知识之所以是科学的知识，主要就在于证明，至于结果，其情况也是如此，因为严格的数学方法并不是对一切都提供了成果的标记，而这种标记，无论如何，也只是外面的标记。

值得费些力量去仔细考察无限的数学概念，和有些很可以注目的尝试，那些尝试的意图在于论证这种概念的使用，消除方法所感到的很难受的困苦。在这个注释里，我要较广泛地从事考察对数学无限的论证和规定，这种考察将对其概念的本性投下最好的光明，也将指出这个概念如何浮现在这些论证和规定的面前并为它们立下基础。

数学无限的通常规定是：它是一个这样的大小，假如它被规定为无限大，那么在它以上就没有更大的；假如它被规定为无限小，那么在它以下也没有更小的；或者说在前一种情形，它比任何大小都更大，在后一种情形，它比任何大小都更小。这个定义当然并没有表现真概念，倒不如说是像以前已经说过的无限进展中的那个同样矛盾。但是我们还是看看那里所包含的东西本身是什么吧。数学为一个大小所下的定义是：大小是某种可以增加和减少的东西，——一般说来，这就是一个漠不相关的界限。现在无限大或无限小既然是这样一个不再能增加或减少的东西，那么，事实上它也就不再是定量本身了。

这一结论是必然的、直接的。但是定量（我在这个注释中如实地称一般定量为有限的定量）被扬弃这种不常有的想法，却为普通理解造成困难，因为定量既然是无限的，那就要求设想它是被扬弃了的，是一个已非定量而仍然留有它的量的规定性那样的东西。

这里我们引证一下康德对这种规定是如何判断的。 (31) 他发现这种规定与人们所了解的无限的整体并不一致。“根据普通概念，一个大小，假如不可能有更大的超过它时（即超过其中所包含的一定单位的数量），它就是无限的；但是没有一个数量是最大的，因为总可以再加添上一个或多个的单位。——另一方面，通过一个无限的整体，也不会想象出它有多么大，所以它的概念不是一个最大限度（或最小限度）的概念，而是通过无限的整体来设想它与一个任意采取的单位的关系，就单位而言，无限的整体比一切数都更大。无限物随着所采取的单位较大或较小而较大或较小；但是无限物，因为它的存在仅仅由于与这种已知单位的关系，却永远仍然是一样的，尽管整体的绝对大小当然完全不会由此而知道。” (32)

康德斥责把无限整体看作一个最大限度，看作一定单位的已完成的数量。最大限度或最小限度本身总还像是一个定量或数量。这样的观念无法避免康德所举出的后果，会引致较大或较小的无限物。一般说来，既然把无限物想象成定量，那么，较大或较小的区别也就仍然会对无限物有效。但是这种批评，对于真的数学无限物的概念，无限差分的概念，却是无的放矢，因为无限差分已不再是有限的定量了。

康德的无限概念，恰恰与此相反。他所谓的真的、先验的概念，是“测量一定量时永远不能完成单位的继续综合”。 (33) 这是假定了一个一般的定量作为已经给予的；它应该由于单位的综合而成一个数目，一个被确定指明的定量，但是这种综合又永远不能完成。 (34) 这里所表示的，显然不过是无限进展，只是被想象为先验的，即本来是主观的、心理的罢了。就本身说，定量诚然应该是完成了的，但是就先验的方式说，即在主观中（主观给它一个与单位的关系），却只发生了一个这样的定量的规定，它没有完成而绝对带着一个彼岸。所以这仍然是停留在大小所包含的矛盾里，但是这个矛盾却被分配给对象和主体了；对象得到的是订立界限，主体得到的是超出主体所把握的每一规定性而进入坏的无限。

另一方面，前面已经说过，数学无限物的规定，如高等分析中所使用的，诚然与真的无限概念符合，现在却应当对这两种规定的比较，作更详细的阐释。关于真的无限的定量，首先就是它自己规定本身是无限的。它之所以如此，因为正如以前看到过的，有限的定量（或者说一般定量）和它的彼岸，即坏的无限，都同样被扬弃了。扬弃了的定量因此回复到单纯性和自身关系，但是这不仅仅像外延定量那样，因为当外延定量过渡到内涵定量之时，内涵定量只是本身在外在的杂多中才有其规定性，但对于规定性既应当漠不相关，又应当有差异。无限的定量则是在它那里含有（1）外在性，（2）这种外在性的否定；所以它不再是任何有限的定量，不再是一个以定量为实有的大小规定性，而是单纯的，因此只是环节。无限的定量是一个在质的形式中的大小规定性；它的无限性必须是一个质的规定性。这样，作为环节，它本质上是在和它的他物统一之中，只有通过它的这个他物，才是被规定了的，即它只在对一个同它处于比率中的东西有关系时，才有意义。在比率之外，它就是零；——因为定量本身对比率应当是漠不相关的，而在比率中却应当是一个直接的、平静的规定。它在比率中只作为环节，便不是一个自为的漠不相关的东西；由于它同时又是一个量的规定性，所以它在作为自为之有的无限性中，只是一个为一（Für-Eines）的东西。

无限物的概念，这里还只是抽象地展示出来；假如我们把定量当作一个比率环节，观察它所表现的各个阶段，从它同时还是定量本身这一最低的阶段起，直到它获得无限大小的真正意义和表现这种较高的阶段为止，那么，无限物的概念就将显出是为数学的无限物奠立基础，它的本身也将更为明白。

我们试先取一个比率中的定量，如一个分数。例如 这个分数，它并不像1，2，3等等定量，它固然是一个普通的有限的数，但不是一个直接的数，如整数那样，而是由两个其他的数间接规定的分数；那两个数互为数目和单位，而单位也是一确定的数目。但是假如将这两个数相互的密切规定抽掉，只就现在它们在质的关系中恰巧是定量这一点来观察，那么，2和7在另外的地方就是漠不相关的定量；但是在这里，由于它们仅仅出现为彼此的环节，从而 假如说常识承认这种不精密可以容许，那么，一切几何学家相反地，都会抛弃这种想法。在数学科学中完全谈不到这样的经验的精密；而数学测量由于运算或由于几何构造及证明也与田野丈量，经验的线、形等的测量完全有区别；这是很显然的事。除此而外，前面已经说过，数学分析家由于比较，也指出如何用严密几何学方法和如何依无限差分的方法所得的结果，彼此都是一样的，完全没有较多或较少的精密性可言。很显然，一个绝对精密的结果不能来自一个不精密的处理方法。可是另一方面，这种处理方法自身又以无足轻重为理由，不管前面所举的辩解遭到抗议，仍避免不了那种省略。要把这里所包含的荒谬情况弄明白并加以消除，这正是数学分析家们勉力以赴的困难所在。

(43) 对这一方面，首先要举出尤拉 (44) 的观念。由于他以牛顿的一般定义为基础，他坚持微分计算要考虑一个大小的增量的比率，但是又须把无限的差分本身完全当作零（《微分计算教程》(45) 拉格朗日 (46) （《解析函数论》，导言）判断极限或最后比率的观念说，假如两个量仍然是有限的，那就立刻可以很容易设想它们的比率，一旦这个比率之项同时成了零时，那么这个比例所给予的概念，对于知性说来，就不明白、不确定了。 (47) ——事实上，知性必须超出比率各项作为定量是零这种单纯否定的方面，而要去把握它们是质的环节这种肯定的方面。——尤拉在以后（见前引书§84以下）又说两个所谓无限小量虽然不过是零，却有一个相互的比率，所以对它们不用零的符号而用别的符号；他为了此种证明而对有关的上述规定所增补的说法，是不能令人满意的。他想用算术比率和几何比率的区别来论证这一点；在算术比率中我们所看到的是差分，在几何比率中我们所看到的是商数，算术比率虽然等于两个零之间的比率，但几何比率却不因此而也是那样；假如说2﹕1＝0﹕0，那么，就比例的本性而言，(53) 牛顿的解决，错误不在于其系列各项只被当作是一个总和的部分，而在于没有考虑到含有问题所在的质的规定的那一项。

在这个例子里，处理办法要依赖质的意义。这里也可以连带提出一般主张，即：假如指出原则的质的意义并使运算附属于这种意义，——而不要形式主义地只是在为微分起名称的任务中才提出微分的规定，只是在一个函数的变量得到增长之后才提出这个函数与它的变化的一般区别，——那么，原则的全部困难便会消除。在这种意义之下，很明显，由展开（x＋dx）n 而发生的系列，用它的isti termini nihilum valebunt）；同样，假如一些项只含有原来方程式所规定的大小，它们也必须扔掉（——这就是后来从以增量构成的方程式中减去原来的方程式）；最后，必须用纵坐标本身来代替纵坐标的增量，用次切线来代替横坐标的增量。假如这样说可以容许，那么，我们就要说这种办法不能以小学</a>教师的方式来说明；——后一种代替是假定了纵横坐标的增量与纵坐标和次切线有比例，这种假定在普通微分方法中，成了切线规定的基础；而这个假定在巴罗的规则中，却赤裸裸表现其幼稚。一个规定次切线的简单方式，是已经发现了的；罗伯伐尔 (60) 和费尔马 (61) 方法也达到了相似之点，——求出最大值和最小值的方法（最小值便从这种方法出发），是依靠同样基础和同样办法的。要找到所谓方法，即那一类的规则，而又把它们搞成神妙莫测，这在当时曾经是数学的狂热病，这种神妙莫测的东西不仅很容易，而且在某种情况看来，也是必要的，其理由也同样是它很容易，——这是因为发明者只找到了一种经验的、外在的规则，而不是方法，即不是从公认原则演绎出来的东西。这些所谓方法，莱布尼兹从他的时代，牛顿也同样从同一时代并且从他的老师那里，直接承受下来了；这些所谓方法，由于形式的普遍化和可以应用，为科学开辟了新路，但也就从而有需要使办法冲破单纯外在的规则形态，并且有了对它作必要修正的企图。

我们若仔细分析这个方法，那么，真正的过程就是下面这样。首先，方程式中所包含的方幂规定（这当然是指变量的方幂规定），降低到它们的最初导数。但是这样一来，方程式各项的值便有了变化；因为再没有方程式剩下来，只是在一变量的最初导数与其他变量的最初导数之间产生了一个比率；代替px＝y2 有了p﹕2y，或是代替2ax－x2 ＝y2 有了a－x﹕y，这就是以后常常被称为 的那个比率。这方程式是一个曲线方程式，那个比率完全依靠这个方程式，从那里（这在上面就是按照一个单纯的规则）导出的，却反而是一个直线的比率，某些直线以此而有比例；p﹕2y或a－x﹕y，本身是从曲线的直线，即从坐标线，参数而来的比率；但是人们从这里还是没有知道什么东西。有兴趣的事，是要知道关于其他在曲线那里出现的直线，求出适合于它们的那个比率，即两种比率相等。——其次，问题是：由曲线本性所规定的，而又有这样比率的直线，是什么？——但这是久已知道的东西，由那种方法所获得的比率，就是纵坐标与次切线的比率。古人曾经用聪敏的几何方法求出这个；近代发明者所发现的东西，只是经验的办法，把曲线方程式如此安排，以便提供已经知道的那个比率的规定便归在q的系数a之内，它又是方程式的有关的 于是在这段时间所经过的空间，便以

的公式来表示。于是借以通过空间的运动，可以说是由于各个部分的运动综合而成的（这就是说因为解析的展开，给了多数的，并且诚然是无限多的项），这些运动的与时间相应的各段空间，便是 等……。当运动已知时， 定量的无限被规定为定量的否定的彼岸，但定量在自身那里有这个彼岸的。这彼岸是一般的质。无限的定量，作为质的规定性与量的规定性这两个环节的统一，就是比率。

在比率中，定量不再具有漠不相关的规定性了，而是在质的方面被规定为对它的彼岸绝对相关。定量在它的彼岸中延续自己；这彼岸首先是另外一个一般的定量，但是，从本质上看，它们并不是作为外在的定量而彼此相关，而是每一个都以这种对他物的关系为其规定性。这样，它们就在这种他有中回复到自身；每一个都是在他物中所是的东西；他物构成每一个的规定性。——所以定量对自身的超越，现在就有了这种意义，即：定量既不仅仅变为一个他物，也不变为它的抽象的他物，它的否定的彼岸，而是在彼岸那里达到它的规定性；它在它的彼岸中找到了自己。这个彼岸是另外一个定量。定量的质，它的概念规定性，乃是它的一般的外在性。在比率中，定量被建立为这样：在它的外在性中，在另外一个定量中，定量具有它的规定性，并且，定量在它的彼岸，就是它所是的那个东西。

相互具有上述关系的东西，就是定量。这种关系本身也是一种大小；定量不仅在比率中，而且它自己被建立为比率；那是在自身中含有质的规定性的一般定量。这样的定量，由于它在自身中包含着它的规定性的外在性，并且在这种外在性中只与自身相关，因为它在自身那里是无限的，所以，就作为比率而言，这种定量便把自己表现为自身封闭的总体，对界限漠不相关。

比率一般是

（1）正比率。在正比率中，质的东西本身还没有自为地出现；它还不曾比定量有进一步的方式，而定量是被当作以它的外在性为其规定性的。量的比率本身就是外在性与自身关系的矛盾，是定量的持续与其否定的矛盾；这矛盾扬弃自身，首先是由于

（2）在反比率中，一个定量本身的否定，随着另外一个定量的变化而被建立，并且，正比率本身的可变性也被建立起来，但是

（3）在方幂比率中，那个在它们的区别中自身与自身相关的统一，却把自己造成定量的单纯自身乘积；这种质的东西在单纯规定中最后建立起来，与定量同一，变成了尺度。

关于下列各比率的真正性质，在以上涉及量的无限，即在量那里的质的环节的注释中，已有许多预示；因此，剩下来的就只是要分析这些比率的抽象概念了。

甲、正比率

1.比率作为直接的比率，是正比率，在正比率中，一个定量的规定性与另一个定量的规定性彼此蕴含。两者只有一个规定性、或界限，它自身也是定量，即比率的指数。

2.指数可以是任何一个定量；但是，由于它在自身那里含有它的区别、它的彼岸和他有，它才是一个在外在性中自身相关的、在质方面规定了的定量。在定量本身那里的这种区别，是单位与数目的区别；单位是自为地规定；数目则是在规定性那里漠不相关的往返摆动，是定量的外在的漠不相关。单位和数目最初是定量的环节；现在，在比率（比率在这样情况下就是实在化了的定量）中，它的每个环节都好像是一个独特的定量，是它的实有的规定，是对大小规定性划立界限，否则大小规定性将仅仅是外在的、漠不相关的。

指数是作为单纯规定性这样的区别，这就是说，它在自身那里直接含有两个规定的意义。首先，指数是定量；所以，指数是数目；如果比率的一端，作为单位，表示可计数的一——而且单位只有被当作这样的一，——那么，比率的另一端，即数目，便是指数的定量本身了。第二，指数是作为比率两端的质的东西那种单纯规定性；如果一端的定量规定了，那么，另一端的定量便也就由指数规定了，至于前者如何规定那是完全不相干的，就自为地规定的定量而言，它再无任何意义，并且，它可以是任何一个别的定量而不改变比率的规定性，这种规定性完全依靠指数。作为单位的这一个定量，无论它变得怎么大，总永远是单位；而另一个定量，无论它以此而变得怎么大，也必须永远是那个单位的同一个数目。

3.因此，比率的两端实际上只构成一个定量；一端的定量对于另一端的定量只有单位的值，而没有一个数目的值；另一端的定量则只有数目的值；因此，按照它们的概念规定性来说，它们本身并不是完满的定量。但是，这种不完满性是在它们那里的否定；这一点并不是依据两个定量一般的变化，按照一般变化，一个定量（每个定量都是这两个定量的一个）可以采用一切可能的大小，这一点却是依据以下的规定，即，假如一个定量变化，另一个定量也按比例增减：如已经说过的，这意味着只有一端、即单位能改变其定量，而另一端、即数目则仍然是单位的同一个定量，但前者作为定量，尽管愿意如何变化便如何变化，它也同样只能当作单位。因此，每一端只是定量的两个环节之一，属于它的特有的独立性，自身被否定了；在这种质的联系方面，这两个环节必须建立为彼此否定的。

指数应该是完满的定量，因为在指数中，两端的规定性合而为一了；但实际上，指数作为商数，本身只有数目的值，或单位的值。在这里，没有任何规定性表明比率的哪一端必须当作单位，哪一端必须当作数目；如果一端、定量B，被作为单位的定量A来测量，那么，商数C便是这样的单位的数目；但假如A本身被认为是数目，那么，商数C就是数目A为定量B所要求的单位；因此，这个商数作为指数，并没有被建立为它应该是的东西，——即比率的规定者或说比率的质的统一。它之能被建立为那样，只有由于它具有成为单位与数目这两个环节的统一那样的值。因为这两端，固然就像在外现的定量中、即在比率中所应该是的那样呈现为定量，但同时也只在它们作为比率两端所应该具有的值之中，即是不完满的定量，只能算做这些质的环节之一；所以，它们必须以它们的这种否定而建立。这样，便发生了一个对规定较符合、较实在的比率，在这个比率里，指数具有它们的乘积的意义；按照这种规定性，这个比率便是反比率。

乙、反比率

1.现在达到的比率是被扬弃了的正比率；它曾经是直接的，因而还不是真正规定的比率；现在，规定性是用这样的办法增补起来的，即：把指数算作乘积，算作单位与数目的统一。就直接性而言，指数曾经漠不相关地既可以被当作单位也可以被当作数目，如以前所指出的那样；因此，指数过去也只是一般的定量，因而，宁可说是数目，一端曾经是单位，须当作一，对于这一端说来，另一端便是固定的数目，同时也是指数；所以指数的质曾经只是这个被认为是固定的定量，或者不如说，这个固定的东西只有定量的意义。

现在在反比率中，指数作为定量，同样被当作是直接的，并且可以是任何固定的定量。但这个定量对于比率中别的定量的一，并不是固定的数目；这个以前的固定的比率，现在倒是被当作可变化的；如果别一定量被当作一端的一，那么，另一端就不再是前者的单位的同一个数目了。在正比率中，这单位只是两端所共同的；它在另一端中，即在数目中延续自身；自为的数目本身或指数，对单位是漠不相关的。

但是，在比率现在的规定性中，数目对于一说来，构成了比率的另一端，它本身相对于这个一而变化；每当另外一个定量被采用为一时，数目也就变成另外一个数目。因此，虽然指数现在只是直接的，只是被任意地当作固定的定量，然而指数并没有作为这样的定量在比率的一端中保持自身，这一端是可变化的，因而两端的正比率也是可变化。所以在现在的比率中，指数作为进行规定的定量，便被建立为否定自己的比率的定量，是质的东西，是界限，以致质的东西突出了自己对量的东西的区别。——在正比率中，两端的变化只是两端共同的单位所采用的定量的变化；一端增减多少，另一端也同样增减多少；比率自身对这种变化漠不相关，变化对比率是外在的。在反比率中，变化尽管就漠不相关的量的环节说，也同样是任意的，但是，变化保持在比率之中，并且这种任意的量的超越，也被指数的否定的规定性、被界限给限制住了。

2.反比率的这种质的本性，必须在其实在化中进一步加以考察；其中所包含的肯定的东西与否定的东西的错综复杂情况，必须加以分析。——定量被建立为在质方面的定量，这就是说，它自己规定自己，它自身表现为自己的界限。因此，第一，定量是作为单纯规定性的一个直接的大小，是作为有的、肯定的定量的整体。第二，这种直接的规定性同时又是界限，因此区分为两个定量，它们首先是互为他物的；但是，作为它们的质的规定性，而且是完满的规定性，这就是单位与数目的统一，是乘积，而它们则是乘积的因数。一方面，它们的比率指数在它们之中是自身同一的，是单位与数目的肯定物，就此而言，它们便是定量；另一方面，作为在它们那里建立起来的否定，指数又是在它们那里的统一，按照这种统一，它们每一个都是直接的、有界限的一般定量，而且是这样的有界限的东西，即，它只是自在地与它的他物同一。第三，作为单纯的规定性，指数是它所区分的两个定量的否定统一，并且是两定量互相划界的界限。

依据这些规定，指数内的两个环节便相互划界限，并互为否定物，因为指数是它们的规定的统一，一个环节大多少，另一个环节便小多少；在这种情况下，每一个环节所具有的大小就像在自身那里具有另一环节的大小那样，就像具有另一环节所缺少的大小那样。因此，每个大小都用这样否定的方式在另一个大小中延续自身；无论它是多大的数目，在另一个大小中作为数目，它都扬弃了，而它之所以为大小，仅仅是由于否定或界限，这个界限乃是在这个大小那里由另一大小建立的。每一个大小都以这种方式包含着另一个大小，并且在另一个大小那里被测量，因为每个大小都应该是其他的大小所不是的那样的定量；另一个大小，对每个大小的值来说，是必不可少的，因而，对每个大小也是不可分离的。

每个大小在另一个大小中的这种连续性，构成了统一的环节，由于这种统一，两个大小才成为一个比率——这种统一是一个规定性或单纯界限，即是指数。这个统一、这个整体，构成每个大小的自在之有，与其当前的大小不同；其所以依照当前大小而有每一环节，只是由于这种大小从共同的自在之有、或整体中另一大小那里退出了。 (1) 但是，它只有在它与自在之有相等时，它才能够从另一大小那里退出，它在指数那里有它的最大值，这个指数按我们已经指出的第二个规定来说，就是它们相互划界的界限。由于每个大小只有就它对另一个大小划界，因而也被另一个大小划界而言，才是比率的环节，所以当它与它的自在之有相等时，它就丧失了它的这种规定；在这里，另一个大小不仅变成了零，而且自身也要消失，因为它不是单纯的定量，而是只有作为那样的比率环节，它才是它所应该是的那样的东西。于是，每一端都是作为它们的自在之有，即整体（指数）的统一这种规定与作为比率环节的另一个规定的矛盾；这个矛盾又是一个有新的特殊形式的无限性。

指数是比率两端的界限，在界限中，比率的两端彼此相互消长；照肯定的规定性——作为定量的指数——来说，比率的两端不能等于指数。作为它们相互限制的极限，指数是：（甲）它们的彼岸，它们无限地接近这个彼岸，但不可能达到。它们在这种无限中接近彼岸，这种无限是无限进展的坏的无限；这种无限本身是有限的，在它的对方、在比率的两端和指数的有限性中，有其限制；因此，它只是接近而已。但是，（乙）坏的无限在这里同时被建立为它真正是什么，即只是一般否定的环节，根据这个环节，指数对比率的不同定量，是作为自在之有的这种单纯的界限；这些不同定量的有限性，作为单纯可变的东西，与这个自在之有是有关的，但是自在之有作为它们的否定，又绝对与它们有差异。于是，这个为它们只能接近的无限的东西，同时又是肯定的此岸，是当前现在的——即指数的单纯定量。在这里，便达到了比率两端所带有的彼岸；它自在地是比率两端的统一，因而，自在地是每一端的另一端；因为每一端都仅仅具有另一端所没有的值，所以，每一端的全部规定，都包含在另一端之中；它们的这种自在之有，作为肯定的无限，就单纯是指数。

3.结果便发生了反比率到另一个规定的过渡，与它最初所具有的规定不同。这个规定就在于：一个直接的定量，同时又对另一个定量有关系，它增大多少，另一个定量便减小多少，这个定量之所以为这个定量，乃是由于它对另一定量的否定态度；同样，一个第三个大小，就是它们这种变大的共同限制。在这里，这种变化与作为固定界限的质的东西相反，是它们的特殊性；它们具有变量的规定，那个固定的东西对于变量说来，就是无限的彼岸。

但是，已经表现出来和我们必须加以概括的规定，不仅仅在于：这个无限的彼岸同时又是现在的定量，是任何一个有限的定量，而且在于：它的固定性，——它通过这种固定性，对于量的东西，就是这样的无限的彼岸，并且这种固定性，就是仅仅作为抽象的自身关系的有的质，——把自己发展为它自身在它的他物中的中介，即比率的有限物。这里所包含的普遍的东西，就在于：作为指数的整体，一般就是两个项彼此划界的界限，即否定的否定，因而无限，这种对自身的肯定关系，被建立起来了。更精密的规定是：指数作为乘积，已经自在地是单位与数目的统一，而两项的每一项只是这些环节之一；因而，指数自身包含单位与数目，并在它之中自在地自己与自己相关。但在反比率中，区别发展为量的事物的外在性；质的东西不单纯是固定的，也不仅是直接在自身中包含着诸环节，而且在外在之有的他有中，自己与自己聚集在一起。这种规定在业已出现的环节中，把自己突出为结果。指数既然是作为自在之有而产生的，其环节也就实在化为定量及其一般变化，它们的大小在变化中的漠不相关，表现为无限进展；在它们的漠不相关中，它们的规定性，就是在另一个定量的值中，有它们的值，这就是建立无限进展的基础。因此，（甲）在它们的定量的肯定方面，它们自在地是指数的整体。同样，（乙）对它们的否定环节，对它们彼此的立定界限来说，那就是指数的大小；它们的界限就是指数的界限。它们的实有和划界的无限进展，以及任何特殊的值的否定，都意谓着它们再没有别的内在界限或固定的直接性。因此，这否定是指数的外在之有的否定，这个外在之有是表现在它们之中的；指数作为一般的定量并分解为诸定量，被建立为在它们漠不相关的持续的否定中的自身保持和自身融解，因而是对这样超越自身进行规定的东西。

因此，比率被规定为方幂比率。

丙、方幂比率

1.定量在它的他有中建立自身同一，规定其自身超越，便到了自为之有。由于质的总体建立自身为展开的东西，它便以数的概念规定（即单位和数目）为其环节；数目在反比率中还不是由单位本身规定的一个数量，而是从别的地方，由一第三者规定的一个数量；现在，它被建立为只由单位规定的了。这就是方幂比率中的情况；单位是它自身那里的数目，它对作为单位的自身，同时也是数目。他有、即单位的数目，就是单位自身。方幂是一定数量的单位，每一个单位本身都是这个数量。定量作为漠不相关的规定性变化着；但是，由于这种变化意味着提高到方幂，定量的这种他有纯粹是由它自身加以界限的。因此，在方幂中，定量被当作回复到自身；定量直接是它自身，也是它的他有。

方幂比率的指数，再不像在正反比率中那样，是一个直接的定量了。在方幂比率中，指数完全具有质的本性，是这样的单纯规定性：数目就是单位，定量在他有中与自身同一。这也含有它的量的方面，即：界限或否定不被建立为直接的有的东西，而是实有被建立为在他物中的延续；因为质的真理就在于这样一点，即：量是作为扬弃了的直接规定性。

2.方幂比率首先表现为应用到任何定量上的外在变化；然而，它与定量的概念有较密切的关系，因为定量在方幂比率中发展到实有，它在这个实有中达到了概念，而且完全把这个概念实在化了；方幂比率表现定量自在地是什么，而且表明它的规定性或质，定量通过质便与他物相区别。定量是漠不相关的，建立为扬弃了的规定性，这就是说，作为界限的规定性同样又不是界限，它在它的他有中延续自身，所以仍然与自身同一。在方幂比率中，定量就是这样被建立起来的，而它的他有，即超越自身为其他定量，乃是由它自身规定的。

如果我们把这种实在化的进展与以前的比率加以比较，那么，定量的质，作为自己建立的自己的区别，便正在于它是比率。就正比率说，定量作为这样建立起来的区别，仅仅是一般的和直接的，所以，它的自身关系被当作是单位的一个数目的固定性，这种自身关系是定量作为指数对其区别所具有的。在反比率中，定量对自己的关系是在否定的规定之中，——是对自己的否定，但是定量在否定中却有了它的值；作为肯定的自身关系，定量是一个指数，指数作为定量，只自在地是它的环节的规定者。然而在方幂比率中，定量在区别里呈现，因为区别是一个与自身的区别。规定性的外在性是定量的质；这种外在性，按照定量的概念，被建立为定量的自身规定、自身关系和质。

3.但是，因为定量被建立为合乎它的概念，所以定量已经过渡为另外一个规定；或者也可以说，定量的规定现在就是规定性，自在之有也就是它的实有。它之作为定量，是由于规定的外在性或漠不相关（如人们所说，它是那种可以增大或减小的东西），只算作和只被建立为单纯的或直接的；它变为它的他物，即质，因为那个外在性现在被建立为由定量自身而有了中介，被建立为这样一个环节，即正是在外在性中，定量才与自身相关，才是作为质的有。

起初，量本身似乎是与质对立的。然而，量本身就是一个质，是自身相关的一般规定性，区别于它不同的规定性，区别于质本身。但是，量不仅是一个质，而质本身的真理就是量；质表明自己要过渡为量。另一方面，量在它的真理中是回复到自身的量，并非漠不相关的外在性。因此，量就是质本身，以致在这个规定 (2) 之外，质本身就不会还是什么东西了。为了可以建立总体，双重的过渡是必需的；不仅需要这一规定性向它的另一规定性的过渡，而且也需要另一规定性回到前一规定性的过渡。由于第一个过渡，质与量两者的同一才自在地呈现；——质被包含在量中，不过量因此还是一个片面的规定性。反之，量也同样被包含在质中，这个量同样只是扬弃了的，这种情况发生在第二种过渡之中——即回复到质。关于这种双重过渡的必然性的考察，对整个科学方法来说，是很重要的。

现在，定量再不是漠不相关的、外在的规定了，因此，定量作为这样的外在规定，是扬弃了，并且是质，并且是那个由此而是某物的东西，这就是定量的真理，就是尺度。

注释

在前面关于量的无限的注释中，已经讨论了量的无限和它所引起的困难，其根源在于量中出现的质的环节；并且进一步阐明了特别是方幂比率的质如何消失在繁多的发展过程和错综复杂的情况里。我们已经指出，阻碍把握概念的根本缺点，就在于仅仅依据否定的规定（定量的否定）而停留在无限那里，不进展到单纯的规定、肯定的东西（这是质的东西）。在这里，就只剩下对哲学中量的形式掺杂到思维的纯粹质的形式里去的那种现象，还要加以考察。最近，方幂比率特别被应用到概念规定上。概念在其直接性中，曾被称为一次方；在他有或区别中，即它的环节的实有中，被称为二次方；就其回复到自身或作为总体说，被称为三次方。很明显，这样使用的方幂主要是属于定量的一个范畴，这种方幂的意思并不是亚里士多德的潜在性（potentia， ）。因此，方幂比率表现规定性为达到了真理的区别，就像在定量这个特殊概念中的区别那样，然而却不像在概念本身中的区别那样。定量包含着否定性，这种否定性属于概念本性，不过还没有在概念的特有的规定中建立起来；定量所具有的区别，对概念本身说，是肤浅的规定；这些区别还远远没有被规定为像它们在概念中那样。在哲学思维的童年时期，数被用来表示普遍的、本质的东西，如毕达哥拉斯，在这里，一次方、二次方等等并没有什么高出于数的地方。这是纯粹思维把握的初步阶段；思维规定本身在毕达哥拉斯之后才被发现，才自为地被意识到。但是，离开这些思维规定，再倒退回数的规定去，本来是一种自觉无力的思维，它和当今惯于思维规定的哲学教养相对立，想把那些缺点奉为某种新奇的、高尚的东西、奉为一种进步，这只是自添笑话而已。

(3) 只要方幂一词仅仅被用作符号，那便是无可反对的，就如同对于数或别种概念符号无可反对那样；但是，符号，也是有可反对的，正如要以符号来表达纯概念或哲学的规定的一切符号论是可以反对的一样。哲学既无须求助于感性世界，亦无须求助于想象力，更无须求助于哲学的特殊部门，这些特殊部门是从属于哲学的，因此，其规定是不适合于高级领域和整体的。当有限的范畴一般应用于无限的事物时，这种不适合的情况便发生了； (4) 力、实体性、原因和结果等流行的规定，用来表示例如生命的或精神的关系，也同样只是一些符号，也就是说，对于这些关系来说，乃是一些不真的规定，定量的方幂和可计数的方幂，对于这些关系和一般思辨的关系来说，就更是如此了。如果数、方幂、数学的无限之类，并不应该用来作符号，而是应该用来作哲学规定的形式，因而它们本身便是哲学的形式；那么， (5) 它们的哲学意义，即它们的概念规定性，就必须首先加以证明。如果这一步做到了，那么它们本身也便是多余的标记了；概念规定性表示自己，它的表示是唯一正确的，适合的。因此，那些形式的使用，除了作为一种方便的工具，以省掉对概念规定的把握、揭示和论证之外，就再不是任何别的东西了。

【注释】

(1) 这里是说在反比率中每一项应有的大小，和它本身的具体大小不同，它的具体大小是就离开了比率另一项说的。——译者注

(2) 这个规定，指量。——译者注

(3) 参看第122页。

(4) 参看第123页。

(5) 参看第122—123页。