第三章 非欧几何学_科学与假设

每一个结论假定先有前提；这些前提本身或者是自明的而不需要证明，或者只能依赖其他命题而建立，鉴于我们不能这样追溯到无穷，每一门演绎科学，尤其是几何学，必须以某一数目的不可证明的公理为基础。因此，有关几何学的论著，都是以陈述</a>这些公理开始的。不过，在这些公理中，也要有所区分：例如，“等于同一量的一些量彼此相等”就不是几何学命题，而是分析命题。我认为它们是先验分析判断，我不愿去理会它们。

可是，我必须强调几何学所特有的其他公理。大多数专著中都明确地陈述了这三个公理：

1°通过两点只能作一条直线；

2°直线是一点到另一点的最短的路径；

3°通过一给定点只能引一条直线与已知直线平行。

一般地，虽然 关于公理的本性。大多数数学家仅仅把罗巴契夫斯基几何学视为纯粹的逻辑珍品；可是，他们之中的有些人走得更远。由于许多几何学是可能的，我们的几何学肯定是真的吗？经验无疑教导我们，三角形的角之和等于两直角；但是，这是因为我们所涉及的三角形太小了；按照罗巴契夫斯基的观点，差别正比于三角形的面积；当我们计算较大的三角形时，或者当我们的测量变得更精确时，这种差别不能被感觉到吗？因此，欧几里得几何学只不过是暂定的几何学。

为了讨论这种意见，我们首先应该问我们自己，几何学公理的本性是什么？

它们是像康德（Kant）所说的先验综合判断吗？

于是，它们以如此强大的力量强加于我们，以致我们既不能设想相反的命题，也不能在其上建设理论大厦。那里不会有非欧几何学。

为了确信这一点，让我们举一个名副其实的先验综合判断，例如下述我们在 如果一定理对数1为真，如果业已证明，倘若它对n为真，则它对n+1亦为真，那么它将对所有的正整数都为真。

可是，企图否认这一命题而摆脱它，企图建立一种类似于非欧几何学的伪算术——那是不能做到的；乍一看，人们甚至会被诱使认为这些判断是分析的。

再者，重新谈谈我们虚构的无厚度的动物吧，我们简直不能承认，假如它们的心智像我们的一样，它们会采纳与它们的一切经验相矛盾的欧几里得几何学。

我们能够因此得出几何学公理是经验的真理的结论吗？可是，我们没有做关于理想直线或圆的实验；人们只能针对物质的客体做实验。这样一来，应该作为几何学基础的实验能够建立在什么之上呢？答案是容易的。

我们在上面已经看到，我们在不断推理时，几何图形好像固体一样起作用。因此，几何学能够从经验中借用的东西也许是这些固体的性质。光的性质及其直线传播也导致了几何学的某些性质，尤其是射影几何学的性质，以至于从这种观点看来，人们会被诱使说，度量几何学是固体的研究，而射影几何学则是光的研究。

但是，困难依然存在，而且它是难以克服的。假如几何学是实验科学，它就不会是精密科学，它就应该是继续修正的学科。不仅如此，从此以后每天都会证明它有错误，因为我们知道，没有严</a>格的刚体。

因此，几何学的公理既非先验综合判断，亦非实验事实。

它们是约定；我们在所有可能的约定中进行选择，要受实验事实的指导；但选择依然是自由的，只是受到避免一切矛盾的必要性的限制。因此，尽管决定公设取舍的实验定律仅仅是近似的，但公设能够依然严格为真。

换句话说，几何学的公理（我不谈算术的公理）只不过是隐蔽的定义。

于是，我们想到这样一个问题：欧几里得几何学为真吗？

这个问题毫无意义。

这好比问米制是否为真，旧制是否为假；笛卡儿坐标是否为真，极坐标是否为假。一种几何学不会比另一种几何学更真；它只能是更为方便而已。

欧几里得几何学现在是、将来依然是最方便的：

1°因为它是最简单的；它之所以如此，不仅仅由于我们的心理习惯，或者由于我不知道我们对于欧几里得空间具有什么直接的直觉；它本身是最简单的，恰如一次多项式比二次多项式简单；而球面三角的公式比平面三角的公式复杂，对于不了解这些公式的几何意义的分析家来说，情况似乎依然如此。

2°因为它充分地与天然固体的性质符合，这些固体是我们的手和我们的眼睛所能比较的，我们用它们制造我们的测量工具。