第二章 数学量和经验_科学与假设

要获悉数学家对连续统（continuum）任何理解，人们不应询问几何学。几何学家总是企图或多或少地想象他所研究的图形，但是他的表象在他看来仅仅是一种工具；在创造几何学时，他要利用空间，正如他用粉笔画图一样；对非本质的东西不应当赋予过多的权重，其重要性往往并不比粉笔的白色更多一些。

纯粹的解析家并不害怕这一危险。他使数学科学脱离所有无关的元素，而且他能够回答我们的问题：“严格地说来，数学家就其进行推理的这个连续统是什么呢？”许多对他们的技艺进行沉思的解析家已经做出了回答；例如，塔纳里（Tannery）先生在他的《单变函数论导论》一书中就这样作了。

让我们从整数的标度开始；在两个连续步骤之间插入一个或多个中间步骤，然后在这些新步骤中再插入其他步骤，如此类推，以至无穷。这些步骤将是所谓的分数、有理数或可通约数。但是，这还不够；无论如何，在这些已经是无限个数的项之间，还必须插入称之为无理数或不可通约数的其他数。在更进一步之前，我们要评论一下。如此设想的连续统，只不过是按某种顺序排列起来的、在数目上无限的个体的集合物，它虽则为真、但却是相互外在的。这不是通常的概念，其中假定，在连续统的元素之间，存在着一类使它们成为整体的密切的结合物，在那里，点不是在线之先，而是线在点之先。从“连续统是相重数（multiplicity）的单位（unity）”这一受人称颂的公式中，只保留着多样性（multiplicity），统一性（unity）却消失了。解析家在像他们所作的那样定义连续统时，他们仍然是正确的，因为只要他们夸耀他们的严格性，他们总是正好以此公式推理的。这足以告诉我们，真正的数学连续统是与物理学家的连续统和形而上学家的连续统大相径庭的东西。

也许可以说，满足于这个定义的数学家受到词的愚弄，为了解释这些中间步骤如何被插入，为了证明这样做是可能的，就必须精确地讲出每一个中间步骤的是什么。但是，那就错了；在他们的推理 [1] 中所运用的这些步骤的唯一特性是在如此这般的步骤之前或之后存在的特性；因此，也唯有这一特性应当出现在定义中。

这样看来，中间项应该如何插入不需要我们涉及；另一方面，没有一个人会怀疑这种操作的可能性，除非他忘记了，在几何学家的语言中，可能的仅仅意味着无矛盾。

不管怎样，我们的定义还不完备，我将在这段冗长的题外话之后再谈及它。

不可通约数的定义。柏林学派的数学家，尤其是克罗内克（Kronecker），不用整数以外的任何材料，致力于构造分数和无理数的这一连续标度。照此看来，数学连续统也许是心智的纯粹创造，经验大概并未参与其中。

有理数概念对他们来说似乎没有困难，他们主要力求定义不可通约数。可是，在这里介绍他们的定义之前，我必须议论一下，以抢先保证不引起那些不熟悉几何学家习惯的读者的惊奇。

数学家研究的不是客体，而是客体之间的关系；因此，只要关系不变，这些客体被其他客体代换对他们来说是无关紧要的。在他们看来，内容（matter）是不重要的，他们感兴趣的只是形式。

不想到这一点，就无法理解戴德</a>金（Dedekind）竟然会把纯粹的符号称为不可通约数，也就是说，这种数完全不同于应当是可度量的并且几乎是可触知的量的普通观念。

现在，让我们看看戴德金的定义是什么：

可通约数能够以无穷方式分为两类，以致 这些量并不需要总是可测量的；例如，有一种与测量这些量无关的几何学的分支，在这种几何学中，例如需要了解的问题只是，在曲线ABC上，点B是否在点A和点C之间，而不需要了解弧AB是等于弧BC呢，还是比弧BC大一倍呢。这就是所谓的拓扑学。

这是一门完整的学说，它吸引了绝大多数几何学家的注意力，我们从中看到，一系列值得注意的定理一个从另一个里涌现出来。这些定理与通常的几何学的定理的不同之处在于，它们纯粹是定性的，即使图形被拙劣的绘图员画得严重歪曲了比例，由于颤抖而把直线画得多少有些弯曲，这些定理依然为真。

由于我们希望接着把测量引入刚刚定义的连续统，于是这个连续统变为空间，几何学诞生了。但对此的讨论留在第二编。

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[1] 以及包括在特殊约定中的推理，这些约定适合于定义加法，我将在后面谈到它们。