第三章 空间为什么有三维？_最后的沉思

1. “拓扑学”和连续统

几何学家通常在两类几何学之间作出区分，他们把 在这里，有必要简短地说一点题外话。例如，让我们再次把我们通常的空间归于我们的创造者。我们说空间是相对的，这意味着物理学定律在这个空间的所有部分是相同的；或者，用数学语言来说，就是描述这些规律的微分方程不依赖于坐标轴的选择。

如果我们考虑一个完全孤立的系统，那么这没有什么意义；不可能观察这个系统的点的坐标，而只能观察它们的各自距离。观察将不会告诉我们，这个系统的性质是否取决于该系统在空间的绝对位置，因为这个位置是不可观察的。

如果系统不是孤立的，事情也不可能是这样（如果我们希望以严格的精确性进行论证的话），因为在没有考虑到外部物体作用的情况下，不可能描述支配这个系统的规律。可是，却存在着几乎孤立的、被其他物体包围的系统，这些物体要近到足以被看得见，然而又远到难以感觉到它们的作用力。对于与恒星有关的我们的地上世界来说，所发生的情况就是这样。因此，我们可以阐明这个地上世界的规律，就好像恒星不存在一样，但我们仍可以把这个世界与完全确定的并与这些恒星不变地联系在一起的坐标系关联起来。所以，经验告诉我们，坐标系的选择无关紧要，当进行坐标变换时，方程不会不成立。正如我们知道的，坐标轴的可能变换的集合形成一个六维群。

让我们撇开我们通常的空间不谈，让我们用在服从现象“平行关系”的意义上是等价的其他方程未代替我们的方程。每当我们涉及到近似孤立的系统时，将存在极其普遍的事实和将保持不变的不变性特性；将存在不会使方程不成立的变换群。这些变换将不再具有坐标轴变换的含义，它们的含义能够是无论什么东西，可是这些变换所形成的群必须始终与我们刚刚提到的六维群保持同构。没有这一点，就不会有任何平行关系。

因为这个群在所有的情况下起着重要的作用，因为它与坐标轴在通常空间中变换的群同构，还因为它如此密切地和我们的三维空间联系在一起，由于这些理由，当这个群以最自然的方式，即通过引入三维空间被提出时，我们的方程将取它们最简单的形式。

并且由于这个群本身与被认为固体的每一单元的位置变化的群同构，由于服从这个群的规律的运动固体的这一性质通过最终分析只不过是我刚刚注意到的不变性这一特征的特例，所以我们看到，在导致我们把三维赋予空间的物理学的根据和在本章第一节提出的心理学的根据之间，并不存在基本的差别。

6. “拓扑学”和直觉

我想附加一点评论，它仅仅与我已经说过的东西间接有关。我们在上面看到了拓扑学的重要性，我解释道，在这里有几何学直觉的合法领域。这种直觉存在吗？我将回想起，存在着不要直觉也想取得进展的企图，而且希尔伯特（Hilbert）先生试图建立一种所谓的理性几何学，因为这种几何学一点也不诉诸直觉。它以一定数目的公理或公设为基础，这些公理或公设被认为不是直觉的真理，而认为是伪装的定义。这些公理被分为五组。关于其中的四组，我已在某些场合提到了，在某种程度上把它们视为只包含伪装的定义是合理的。

在这里，我想着重强调一下其中的一组；即第二组，“次序公理”组。为了充分解释这个组涉及什么内容，我将引用它们中的一个。如果在任一线上的A和B之间有任意一点C在A和C之间有任一点D，那么点D将处在A和B之间。按照希尔伯特先生的观点，其中没有直觉的真理；我们同意说，在某些情况下，C在A和B之间，可是除了我们知道点或线是什么之外，我们不知道这意味着什么更多的东西。按照我们的法则，为了在任意三个点之间指定任何关系，我们能够使用“在……之间”这个表述，只要这个关系满足次序公理即可。于是，这些公理在我们看来好像是“在……之间”这个词的定义。

因此，有可能利用这些公理，只要满足这个条件，即证明它们不相互矛盾；而且，几何学也有可能建立在它们的基础上，在这种几何学中，将不需要图形，它能够被既没有视觉、触觉，也没有肌肉感觉以及任何感觉的人所理解，它可以归结为纯粹的知性。

是的，这种人也许会在下述意义上来理解：他十分清楚地认识到，这些命题在逻辑上可以使一个从另一个中推导出来；但是，这些命题的集合对他来说似乎是人为的和奇异的，他不理解为什么是这种命题集合，而不是许多其他可能的集合更受欢迎。

如果我们没有经历同样的惊奇，那正是因为对于我们来说，公理实际上不是简单的定义和任意的约定，而是真正证明为正确的约定。至于其他各组公理，我依然认为，它们之所以被证明是正确的，是因为它们是与我们熟悉的某些经验事实最近似符合的东西，因而对于我们来说，它们是最方便的。谈到次序公理，在我看来，似乎存在着某种更多的东西；它们是与拓扑学有关的真实的直觉命题。我们看到，点C在一条线上其他两点之间的事实与借助于由不可逾越的点形成的截量去截取一维连续统的方法有关。

可是，接着便产生了一个问题：像次序公理这样一些真理是通过直觉向我们揭示出来的；但是，这是有关空间直觉本身的事情呢，还是有关一般的数学连续统或物理连续统直觉的事情呢？倘若赞成第一种解决办法，我们可以容易地论证空间，但是要论证更复杂的连续统、要论证不能在空间中来描述的大于三维的连续统就困难得多了。

而且，如果第一种解决办法被采纳，这里的全部讨论会变得毫无用处；我们之所以将三维性直率地赋予空间，是因为三维连续统是我们能够具有清晰直觉的唯一连续统。

但是，还存在着大于三维的拓扑学。我没有说它是一门容易的科学，我为此付出了巨大的努力，没有考虑到会在其中遇到这么多困难。但是，无论如何，这门科学是可能的，它并未全部停留在分析学上。要是不持续在诉诸直觉，就无法成</a>功地把它探究下去。因此，确实存在着大于三维的连续统的直觉；与通常的几何学直觉相比，如果它要求比较持久的注意力，那么这无疑是一个习惯问题，也无疑是当维数增加时，连续统复杂性急剧增加的结果。我们难道在我们的中等学校没有看到平面几何学得很好的学生“无法想象空间”吗？那不是他们缺乏三维空间的直觉，而是他们不习惯于运用它，他们需要作出努力才能如此。而且，为了想象空间图形，我们难道不去相继地想象这个图形的各种可能的远景吗？

我将得出结论，我们大家都有任意维数的连续统的直觉概念，因为我们具有构造物理连续统和数学连续统的能力；而且，这种能力之所以在任何经验之前就在我们身上存在着，是因为没有它，经验严格说来是不可能的，会沦为不适合任何有机体的没有理性的感觉；是因为这种直觉只不过是我们具有这种本能的意识。然而，这种本能可以以不同的方式来运用；它能够使我们像构造三维空间那样来构造四维空间。正是外部世界，正是经验，引导我们在一种意义、而不是在另一种意义上运用它。