I.一些著作家关于算术句子的性质的意见_算术基础

数公式是可证明的吗？

§5.必须把像2+3=5这样的涉及确定的数的数公式与对所有整数都有效的普遍定律区别开来。

这样的数公式被一些哲学家 [1] 看作像公理一样是不可证明的和直接显然的。康德 [2] 宣布它们是不可证明的和综合的，但是对把它们叫作公理则有所顾忌，因为它们不是普遍的，还因为它们的数是无穷的。汉克尔 [3] 把这种有关无穷多不可证明的原初真命题的看法称为不合适的和怪谬的，这是有道理的。实际上，这种看法与理性对于 [9] 《演绎和归纳逻辑系统》， 算术规律是归纳的真命题吗？

§9.根据到目前为止的这些考虑，很可能借助几条普遍规律，仅从个别数的定义就可以得出数公式，很可能这些定义既不断定观察到的事实，也不假设它们的合法性。因此重要的是认识那些规律的实质。

密尔 [10] 想把“由部分构成的东西，是由这些部分的部分构成的”这个定理用到前面提到的他对5+2=7这个公式的证明。他把这看作是通常以“算数之和相等”这种形式闻名的定理的一种更有特色的表达。他称这个定理为归纳的真命题和最高等级的自然律。他的描述有不精确的地方，特别是在根据他的观点证明是必不可少的地方，他根本没有使用这个定理；然而他的归纳的真命题似乎确实可以代替莱布尼兹的公理：“如果代入相等的数，等式保持不变。”但是，为了能够把算术的真命题称为自然律，密尔加入了一种它们没有的意义。例如，他认为 [11] 1=1这个等式可以是假的，因为一磅东西与另一磅东西的重量并非总是完全相等。但是1=1这个句子也根本不是要陈述</a>这一事实。

密尔是这样理解+这个符号的：通过它，表达了一个物理物体诸部分与其整体的关系，或一堆东西诸部分与其整体的关系；但这不是这个符号的意义。5+2=7并不意谓，当人们把2个单位容量的液体注入到5个单位容量的液体中，就得到7个单位容量的液体，相反这是那个句子的一种应用，只有在不是由于譬如化学作用而发生容积变化时，这种应用才是允许的。密尔总是把能够对算术句子所做的常常是物理的并且是以观察的事实为前提的应用与纯数学句子本身混淆起来。尽管加号在许多应用中似乎相当于形成一堆东西；但这不是它的意谓；因为在其他一些应用中，不会有堆积、聚合、物理物体与其诸部分的关系的问题，例如当人们计算一些大事件时。尽管这里也可以谈论部分；但是这时就不是在物理学或几何学的意义上，而是在逻辑的意义上使用这个词，正如当人们称谋杀国家元首毕竟也是谋杀的一部分时那样。这里有逻辑的下属关系。因此加法一般也不相应于任何物理关系。由此可见，一般的加法规律也不能是自然律。

§10.但是它们也许可能依然是归纳的真命题。这如何料想得到呢？应该从哪些事实出发，以便提高到普遍性呢？大概只能从数公式出发。当然这样我们又失去了我们通过对个别数的定义而得到的那种优点，在这种情况下，我们就不得不寻找另一种建立数公式的方式。即使我们现在不考虑这种并非完全无足轻重的疑虑，我们依然会发现这个基础对归纳是不利的；因为这里缺少那种在其他场合能够给予归纳方法极大的可靠性的相似性。对于菲拉雷特的论断：

“数的不同模式只能有或多或少的差异；因此它们是简单的模式，就像空间模式一样”，

莱布尼兹 [12] 就已经作出回答：

“可以这样谈论时间和直线，但是绝不能这样谈论图形，更不能这样谈论数，因为数不仅在量的方面不同，而且也不相像。一个偶数可以分为两个相等的部分，而一个奇数就不能这样分；3和6是三角形数，4和9是平方数，8是一个立方数，等等；而且这在数中比在图形中出现得还多；因为两个不相等的图形可以是彼此完全相似的，但是两个数绝不会这样。”

尽管我们已经习惯于在许多方面把数看作是同类的；但这仅仅是因为我们知道一系列对所有数都有效的普遍句子。然而现在在这里我们必须基于这样的立场，即还不知道任何这样的句子。实际上可能很难找到一个与我们这种情况相应的归纳推理的例子。一般来说，我们常常利用下面这个句子：空间中的每一点和时间中的每一刻本身和其他每一点和每一刻一样完好。只要条件相同，一个结果在另一点和另一刻就必然同样完好地出现。然而这里却行不通，因为数是非时空性的。数序列中的位置与空间的点不是等价的。

数之间的关系也完全不同于个体东西，譬如一类动物之间的关系，因为数有一种由其本性决定的排列次序，因为每个数都以自己的方式建立起来并且有自己的性质，这些性质在0、1和2的情况下表现得特别突出。如果人们在其他情况下通过归纳建立一个与属有关的句子，那么通常仅通过对属概念的定义，就已经得到一整系列共同的性质。而在这里，即使找到一种单一的本身没有首先被证明的性质也是很难的。

我们这种情况可能最容易与下面的情况进行比较。在一个钻孔中人们注意到，气温随着深度有规律地增长；至此人们遇到了极不相同的岩层。在这种条件下，仅从在这个钻孔中所作的观察，显然推论不出任何与更深岩层的性质有关的东西，而且气温是不是依然会继续这样有规律地延伸分布，也一定无法确定。尽管至此观察到的东西以及处于更深层的东西下属于“继续打钻将遇到的东西”这个概念；但是在这里它们不会有什么用处。在数的情况，数全部处于“通过继续加一而得到的东西”这个概念之下，这对我们同样不会有什么用处。在这两种情况中可以发现一种差异，即岩层只能被人们遇到，而数却恰恰是通过继续加一被创造出来，并且根据其全部本性得到确定。这只能说明，人们以通过加1而形成一个数，比如8这个数的方式，可以推出数的所有性质。这样就基本承认了从数的定义得出数的性质而且还显示出这样一种可能性：可以从所有数共同的形成方式证明数的普遍规律，而从特殊的方式可以得出个别数的特殊性质，正像通过继续加一而建立这些数一样。这样，不必用归纳，人们也可以由此推出那些在地层中仅由遇到地层的深度就已经确定的东西，因而推出地层的状况关系；但是由此没有确定的东西，归纳也不能告诉人们。

如果不把归纳方法单纯地理解为一种习惯，那么很可能仅借助算术的普遍句子就能证明它本身的合理性。因为习惯完全没有确保真的能力。科学方法依据客观的尺度有时仅在一次证明中就建立起很高的概率，有时却把千百次证明几乎看作毫无价值，而习惯却通过印象的次数和深刻程度，通过绝没有任何理由影响我们判断的主观状态被确定下来。归纳必须依据概率学说，因为它至多可以使一个句子成为概率的。但是如何能够在不假设算术规律的前提下发展概率学说，却是无法预料的。

§11.莱布尼兹 [13] 的观点与此相反，他认为像算术中发现的那样的必然真的命题必须有一些原则，这些原则的证明不依赖于例子，因而不依赖于感觉证据，虽然没有感觉谁也别想去考虑这些原则。“整个算术是我们生来就有的，而且是以潜在的方式在我们心中。”他用“生来就有的”这个表达意谓什么，在另一个地方 [14] 得到说明：“人们习得的所有东西都不是生来就有的，这样说是不对的；——数的真命题在我们心中，可人们仍然学习它们，无论是当人们以证明的方式学习它们时从其本源得出它们（这恰恰表明，它们是生来就有的），或是……”。

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[1] 《演绎和归纳逻辑系统》， [2] 同上书， [3] 鲍曼：《论时间、空间和数学》， [9] 《新论》Nouveau Essais,IV,§9,（Erdm.S.362）。

[10] 引人注意的是，密尔（《演绎和归纳逻辑系统》，第2卷，第6章，§4）似乎也表达了这种观点。他那清醒的意识正好常常打破他赞同经验的偏见。但是这种偏见总是又把一切搞乱，因为这使他把算术的物理应用与算术本身混淆起来。他似乎不知道，即使条件不真，一个假言判断也可以是真的。